Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 20
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Aufgabe
Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Aufgabe
Es sei
eine stetige Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.
(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)
Aufgabe
Es sei ein Intervall und
eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.
Aufgabe
Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Aufgabe
Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.
Aufgabe
Aufgabe *
Aufgabe
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?
Aufgabe
Aufgabe
Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .
Aufgabe
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).
Aufgabe
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10 (4).
Aufgabe
Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.
Aufgabe *
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme die Ableitung .
b) Bestimme die zweite Ableitung .
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)
Aufgabe
Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Aufgabe (1 Punkt)
Aufgabe (2 Punkte)
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