Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 20



Übungsaufgaben

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe ebenfalls konvex ist.



Es sei

eine Funktion. Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn konkav ist.



Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.



Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.



Es sei

eine stetige Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.

(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)


Es sei ein Intervall und

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.



Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.



Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.



Bestimme die Ableitung der Funktion



Bestimme die Ableitung der Funktion



Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?



Es sei

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

Zeige, dass für alle ist.



Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .



Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).



Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10  (4).



Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.



Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .



Bestimme die Ableitung der Funktion



Bestimme für die Ableitung der Funktion


Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.


Die für durch

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.


Die für durch

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.



Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)






Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine konvexe Funktion, seien und mit . Zeige die Jensensche Ungleichung



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.



Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion



Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion



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