Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}.$

Was ist die Definitionsmenge ${}D$ des Tangens?

Aufgabe *

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$

b)

${}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$

c)

${}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgrund von Korollar 21.4 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

und heißt Arkussinus.

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$

und heißt Arkuskosinus.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe *

Wir betrachten die durch

$f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass es zu jedem ${}\lambda ,\,-1\leq \lambda \leq 1$, eine Nullfolge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

${\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}$

gegen ${}\lambda$ konvergiert.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$,
2. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$,
3. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$,
4. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}x\rightarrow 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
2. ${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$,
3. ${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=\sin n\,$

nicht konvergiert.

Aufgabe *

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ sei eine Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}:=\sin x_{n}\,$

definiert. Entscheide, ob ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Untersuche die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n},$

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also ${}g_{n}(x)=f_{n}'(x)$?

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei ${}F$ eine komplexe, auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe der Form

${}F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.$

Zeige, dass für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ die Gleichheit ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}F=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i}$ eine komplexe auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ gelte ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}c_{i}=0$ für alle ${}i$ gilt, die kein Vielfaches von ${}n$ sind.

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(\zeta z)=\zeta ^{n-1}f'(z)$ erfüllt.

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   mit ${}f(z)=g(\vert {z}\vert )$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

2. Für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ (alle $n\in \mathbb {N}$) ist ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Für alle ${}w\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {w}\vert =1$ ist ${}f(wz)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Intervalle, auf denen die reelle Sinusfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

konvex bzw. konkav ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert ${}\geq 1$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass es keine stetige Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert ${}\geq 1$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}z_{n}\in {\mathbb {C} }$ eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als

$z_{n}=r_{n}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{n}}$

mit ${}r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}\varphi _{n}\in [0,2\pi [$ schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.

1. Die Folge ${}r_{n}$ konvergiert gegen ${}0$.
2. Die beiden Folgen ${}r_{n}$ und ${}\varphi _{n}$ konvergieren (in ${}\mathbb {R}$).
3. Die Folge ${}r_{n}$ konvergiert und die Folge ${}\varphi _{n}$ besitzt die Punkte ${}0$ und ${}2\pi$ als einzige Häufungspunkte.

Aufgabe (6 Punkte)

Zu ${}n\geq 3$ sei ${}A_{n}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen ${}n$-Eckes. Zeige ${}A_{n}\leq A_{n+1}$.