Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex

\setcounter{section}{47}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} von \definitionsverweis {endlicher Dimension}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} die gleiche Dimension wie $V$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbeledisp {L} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+3y-4z } {.} \aufzaehlungzwei {Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = L(v) \text { für alle } v \in \R^3} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} bezeichnet. } {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E }
{ = }{ { \left\{ (x,y,z) \mid 3x-2y-5z = 0 \right\} } }
{ \subset }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ L {{|}}_E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle w , v \right\rangle = \varphi (v) \text { für alle } v \in E} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass eine von $0$ verschiedene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {\R } {} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2y-z^3xe^{xyz} } {,} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {G} {\R } {(x,y,z)} { { \frac{ xyz-z^2 }{ \ln (xy) +z^2 } } } {,} in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} mit
\mathl{G=\R_{> 1} \times \R_{> 1} \times \R}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {f} {und} {\left(Df\right)_{P}} {} im Punkt $P$ den gleichen \definitionsverweis {Gradienten}{}{} besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass ein Vektor
\mathl{v \in V}{} genau dann zum \definitionsverweis {Kern}{}{} von
\mathl{\left(Df\right)_{P}}{} gehört, wenn er \definitionsverweis {orthogonal}{}{} zum \definitionsverweis {Gradienten}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, f ( P )}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-y^2+x } {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Anstieg der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-x+y^3 } {,} im Punkt
\mathl{P=(1,1)}{} in Richtung des Winkels
\mathl{\alpha \in [0, 2 \pi]}{.} Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+ \sin \left( y \right)-xz } {.} \aufzaehlungdrei{Bestimme den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} $G$ von $f$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (0,0,0) }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarprodukts}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x-y+3z = 0 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ f {{|}}_E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf $E$. Bestimme den Gradienten $\tilde{G}$ von
\mathl{g}{} bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$. }{Zeige, dass $\tilde{G}$ die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} von $G$ auf $E$ ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^3-xy+ \sin y } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 46.9.

}
{} {}