Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex

\setcounter{section}{54}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und es seien
\mathl{L,L_1 , \ldots , L_m}{} \definitionsverweis {Linearformen}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i = 1}^m \operatorname{kern} L_i }
{ \subseteq} { \operatorname{kern} L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn $L$ zu dem von den
\mathl{L_1 , \ldots , L_m}{} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} \zusatzklammer {im \definitionsverweis {Dualraum}{}{}} {} {} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {5x+3y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Ellipse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 2x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.


\inputaufgabe
{}
{

Für welche Punkte
\mathl{(t,t^2)}{} der \definitionsverweis {Standardparabel}{}{} wird der \definitionsverweis {Abstand}{}{} zum Punkt
\mathl{(0,1)}{} minimal?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an die Hyperbel
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid xy = 1 \right\} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {[0,2 \pi [} {\R^2 } {t} { \left( \cos^{ 3 } t , \, \sin^{ 3 } t \right) } {,} eine \definitionsverweis {bijektive Parametrisierung}{}{} der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter Verwendung der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y) }
{ = }{\left( \cos^{ 3 } t , \, \sin^{ 3 } t \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen Parametrisierung \zusatzklammer {siehe Aufgabe 54.5} {} {} von $M$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y,z) }
{ =} {3x+4y+2z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem Ellipsoid
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x^2+y^2+3z^2 = 4 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an die Astroide
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten im Einheitswürfel
\mathl{E=[-1,1]^3 \subseteq \R^3}{} eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten \zusatzklammer {\mathlk{-1 \leq a,b \leq 1}{}} {} {}
\mathdisp {(1,a,-1),\, (b,1,-1),\, (-1,-a,1),\, (-b,-1,1)} { . }
\aufzaehlungvier{Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen. }{Unter welcher Bedingung an $a,b$ handelt es sich um ein Raute? }{Unter welcher Bedingung an $a,b$ handelt es sich um ein Quadrat? }{Für welche $a,b$ erhält man eine Raute mit maximalem Flächeninhalt? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R^2} {\R } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{} derart, dass die Nullfasern \mathkor {} {M= { \left\{ (x,y) \in \R \mid f(x,y) = 0 \right\} }} {und} {N= { \left\{ (x,y) \in \R \mid g(x,y) = 0 \right\} }} {} \definitionsverweis {disjunkt}{}{} sind und beide nur \definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{} besitzen. Es sei
\mathdisp {(P,Q) \in M \times N \subseteq \R^2 \times \R^2} { }
ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen \definitionsverweis {Tangenten}{}{} parallel sind.

}
{} {}