Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 54



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum über einem Körper und es seien Linearformen auf . Zeige, dass die Beziehung

genau dann gilt, wenn zu dem von den erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.

Aufgabe

Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?


Aufgabe

Bestimme sämtliche Tangenten an die Hyperbel


Aufgabe

Zeige, dass durch

eine bijektive Parametrisierung der Standardastroide

gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Standardastroide


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Standardastroide

unter Verwendung der durch gegebenen Parametrisierung (siehe Aufgabe 54.5) von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf dem Ellipsoid


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Tangenten an die Astroide


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten im Einheitswürfel eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten ()

  1. Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
  2. Unter welcher Bedingung an handelt es sich um ein Quadrat?
  3. Für welche erhält man ein Quadrat mit maximalem Flächeninhalt?


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern und disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.


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