Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 54

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es seien ${}L,L_{1},\ldots ,L_{m}$ Linearformen auf ${}V$. Zeige, dass die Beziehung

${}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}\subseteq \operatorname {kern} L\,$

genau dann gilt, wenn ${}L$ zu dem von den ${}L_{1},\ldots ,L_{m}$ erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=5x+3y\,$

auf der Ellipse

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.

Aufgabe

Für welche Punkte ${}(t,t^{2})$ der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt ${}(0,1)$ minimal?

Aufgabe

Bestimme sämtliche Tangenten an die Hyperbel

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\right\}}.$

Aufgabe

Zeige, dass durch

$[0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right),$

eine bijektive Parametrisierung der Standardastroide

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=x\,$

auf der Standardastroide

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=x\,$

auf der Standardastroide

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,$

unter Verwendung der durch ${}(x,y)=\left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right)$ gegebenen Parametrisierung (siehe Aufgabe 54.5) von ${}M$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y,z)=3x+4y+2z\,$

auf dem Ellipsoid

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+3z^{2}=4\right\}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Tangenten an die Astroide

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}.$

Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten im Einheitswürfel ${}E=[-1,1]^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten ($-1\leq a,b\leq 1$)

$(1,a,-1),\,(b,1,-1),\,(-1,-a,1),\,(-b,-1,1).$

1. Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
2. Unter welcher Bedingung an ${}a,b$ handelt es sich um ein Raute?
3. Unter welcher Bedingung an ${}a,b$ handelt es sich um ein Quadrat?
4. Für welche ${}a,b$ erhält man eine Raute mit maximalem Flächeninhalt?

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid f(x,y)=0\right\}}$ und ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid g(x,y)=0\right\}}$ disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

$(P,Q)\in M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.