Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 53
- Übungsaufgaben
Betrachte die Abbildung
Für welche Punkte ist regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über .
Es seien
zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen und stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion
stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von als Graph an.
Beschreibe die Fasern der Abbildung
Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen und den Fasern von an.
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
Es sei
eine stetige Abbildung und die Faser über . Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung
derart gibt, dass die Faser von über einem Punkt ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung
in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum derart gibt, dass die Faser über ist und dass in jedem Punkt regulär ist.
Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte regulär sein?
Es sei offen und
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei
(mit offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch , bei dem auf abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch auch als
beschreiben kann.
Die nächste Aufgabe knüpft an
Aufgabe 34.22
an.
Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?
Wir betrachten die Abbildung
Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
Wir betrachten die Abbildung
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.
b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .
c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Zeige, dass die Faser durch den Punkt sich lokal durch eine differenzierbare Kurve
mit parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der Ableitung .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt der Abbildung
und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung
an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien
stetige Abbildungen und seien und Fasern dieser Abbildungen, d.h. es sei und (für gewisse ). Zeige, dass es eine stetige Abbildung
und ein derart gibt, dass ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass die Fasern der Abbildung
in jedem Punkt lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine stetige Bijektion
gibt (wobei die Faser von durch bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
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