Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 52

Übungsaufgaben

Mit diffeomorph ist im Folgenden stets ${}C^{1}$-diffeomorph gemeint.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und einer offenen Kugel ${}U{\left(0,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe ${}U{\left(P,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ($r>0$) und ein offenes Rechteck ${}]a,b[\times ]c,d[$ ($b>a,d>c$) diffeomorph sind.

Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}y,x-\sin y).$

Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von ${}\varphi |_{U}$ in ${}\varphi (P)$, wobei ${}U$ eine offene Umgebung von ${}P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).

Aufgabe *

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

$\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgabe

Es seien ${}U,V,W$ euklidische Vektorräume und seien ${}\varphi :U\longrightarrow V$ und ${}\psi :V\longrightarrow W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei ${}\varphi$ regulär in ${}P\in U$ und ${}\psi$ regulär in ${}Q=\varphi (P)\in V$. Ist dann ${}\psi \circ \varphi$ regulär in ${}P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

kann man reell als

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),$

schreiben. Untersuche ${}\varphi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist ${}\varphi$ umkehrbar?

Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen ${}G\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ und ${}H\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

einen Diffeomorphismus von ${}G$ nach ${}H$ induziert.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {y^{2}}{x}},\,{\frac {y^{3}}{x^{2}}}\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung ${}\psi =\varphi ^{-1}$ besitzt, und bestimme das totale Differential von ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$.

c) Man gebe alle Punkte ${}Q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ an, in denen ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ und ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ Punkte in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass die beiden offenen Mengen ${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ und ${}V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{Q_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$

${}U=\mathbb {R} \setminus T\,$

und

${}V=\mathbb {R} \setminus \mathbb {N} \,.$

Zeige, dass ${}U$ und ${}V$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{\left({\frac {1}{n}},0\right)\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{(0,0)\}\,,$

${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus T\,$

und

${}V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} \,.$

Zeige, dass ${}U$ und ${}V$ zueinander nicht homöomorph sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

1. Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$.
2. Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von ${}\varphi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
3. Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar ${}(s,p)$ als ${}(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben?
4. Ist ein reelles Zahlenpaar ${}(x,y)$ bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe ${}x+y$ und das Produkt ${}xy$ festgelegt?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y,z)$ genau dann ein kritischer Punkt von ${}\varphi$ ist, wenn in ${}(x,y,z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}-y^{2}z,y+\sin xz).$

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von ${}\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,xy).$

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ derart an, dass

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen mit ${}0\in V_{1},V_{2}$ und es sei

$\varphi \colon U_{1}\times V_{1}\longrightarrow U_{2}\times V_{2}$

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen ${}U_{1}\times \{0\}$ und ${}U_{2}\times \{0\}$ induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U_{1}\cong U_{1}\times \{0\}$ nach ${}U_{2}\cong U_{2}\times \{0\}$ ein Diffeomorphismus ist.