Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 79/latex

\setcounter{section}{79}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} von zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M_1 \subseteq N_1} {und} {M_2 \subseteq N_2} {} \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass ihr \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
\mathl{N_1 \times N_2}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Karten auf dem \definitionsverweis {Torus}{}{}
\mathl{S^1 \times S^1}{,} die von den stereographischen Projektionen herrühren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} von zwei \definitionsverweis {wegzusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} wieder wegzusammenhängend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbeledisp {\varphi} {M} {M \times M } {x} {(x,x) } {,} die \definitionsverweis {Diagonalabbildung}{}{} in das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times M}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Diagonale}{}{} $\varphi(M)$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {} {M \times M} { M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} als \definitionsverweis {Rotationsmenge}{}{} im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R>0}{} und betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} { { \left( \sqrt{x^2+y^2}- R \right) }^2 +z^2 } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung und die Gestalt der Faser über
\mathl{s \in \R}{.} Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von
\mathl{\sqrt{s} < R}{} zu
\mathl{\sqrt{s} > R}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere die Abbildung \maabbdisp {} {S^1 \times S^1} { S^2 } {,} die zu einem Winkelpaar
\mathl{(\alpha, \beta)}{} die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{?} Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre
\mathl{S^2}{} und der Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu welcher \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} ist
\mathl{S^1 \times S^1 \setminus \triangle}{,} also der Torus ohne die \definitionsverweis {Diagonale}{}{,} \definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Kreislinie}{}{} $S^1$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $S^1$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in S^1}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\alpha} {S^1} {S^1 } {x} { \alpha (x) } {,} und eine differenzierbare Abbildung \maabbeledisp {} {T = S^1 \times S^1} {S^1 } {(x,y)} { \varphi(x,y) } {,} derart, dass $S^1$ mit diesen Daten zu einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Torus}{}{.} Man gebe eine surjektive \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {X } {} derart an, dass auch die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T_P(\varphi)} { T_P\R^2 } { T_{\varphi(P)}X } {} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbdisp {+} {M \times M} {M } {} und einer Abbildung \maabbdisp {\cdot} {K \times M} {M } {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {M } {} eine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{} mit
\mathdisp {\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y) \text{ und } \varphi(s x) = s \varphi(x)} { }
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ \bigwedge^1 V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $m$-\definitionsverweis {dimensionaler }{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ < }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{0 < r < R}{} und sei
\mathdisp {T = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }} { . }
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S^1 \times S^1} {T } {( \varphi, \psi) } {( (R +r \cos \psi) \cos \varphi, (R+ r \cos \psi ) \sin \varphi , r \sin \psi ) } {} eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $T$ ein \definitionsverweis {Torus}{}{} und seien
\mathl{P,Q \in T}{} zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung
\mathl{P,Q \in U \subseteq T}{} derart gibt, dass die Kartenabbildung \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} mit
\mathl{V= {]0,1[} \times {]0,1[}}{} ergibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {4 \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\3\\ -4 \end{pmatrix}} { }
im
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} als Linearkombination der Dachprodukte
\mathl{e_1 \wedge e_2}{,}
\mathl{e_1 \wedge e_3}{} und
\mathl{e_2 \wedge e_3}{} aus.

}
{} {}