Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 79

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt ${}M\times N$ von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es seien ${}M_{1}\subseteq N_{1}$ und ${}M_{2}\subseteq N_{2}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}N_{1}\times N_{2}$ ist.

Aufgabe

Beschreibe die Karten auf dem Torus ${}S^{1}\times S^{1}$, die von den stereographischen Projektionen herrühren.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt ${}M\times N$ von zwei wegzusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ wieder wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\varphi \colon M\longrightarrow M\times M,\,x\longmapsto (x,x),$

die Diagonalabbildung in das Produkt ${}M\times M$. Zeige, dass die Diagonale ${}\varphi (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Beschreibe den Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ als Rotationsmenge im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Es sei ${}R>0$ und betrachte die Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}.$

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über ${}s\in \mathbb {R}$. Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von ${}{\sqrt {s}}<R$ zu ${}{\sqrt {s}}>R$.

Aufgabe

Definiere die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},$

die zu einem Winkelpaar ${}(\alpha ,\beta )$ die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?

Aufgabe

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre ${}S^{2}$ und der Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ${}S^{1}\times S^{1}\setminus \triangle$, also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?

Aufgabe

Betrachte die Kreislinie ${}S^{1}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}S^{1}$, also ein neutrales Element ${}P\in S^{1}$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$T=S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}S^{1}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$+\colon M\times M\longrightarrow M$

und einer Abbildung

$\cdot \colon K\times M\longrightarrow M.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow M$

eine surjektive Abbildung mit

$\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (sx)=s\varphi (x)$

für alle ${}x,y\in V$ und ${}s\in K$. Zeige, dass ${}M$ ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige die Gleichheit ${}V=\bigwedge ^{1}V$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}m$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}n>m$. Zeige ${}\bigwedge ^{n}V=0$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}0<r<R$ und sei

$T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}.$

Zeige, dass die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$

eine Bijektion ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}T$ ein Torus und seien ${}P,Q\in T$ zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung ${}P,Q\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Homöomorphie mit ${}V={]0,1[}\times {]0,1[}$ ergibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

$4{\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}$

im ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ als Linearkombination der Dachprodukte ${}e_{1}\wedge e_{2}$, ${}e_{1}\wedge e_{3}$ und ${}e_{2}\wedge e_{3}$ aus.