Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 80

Aufwärmaufgaben

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}{V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass auf ${}{V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, die durch

$v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}$

definiert sind, eine Basis von ${}{V}^{*}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in V^{*}$. Zeige, dass die Abbildung

$V\times \cdots \times V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det(f_{i}(v_{j}))_{1\leq i,j\leq k},$

multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}4&-1\\0&7\\2&3\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu ${}\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

Aufgabe

Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?

Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Aufgabe

Zeige, dass die Antipodenabbildung

$S^{n}\longrightarrow S^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\longmapsto (-x_{1},\ldots ,-x_{n+1}),$

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\times \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\times \mathbb {R} ,\,(x_{1},x_{2};t)\longmapsto (-x_{1},-x_{2};-t),$

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ der Dimension ${}n\geq 1$ unendlich viele Diffeomorphismen

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

besitzt.

Aufgabe

Die Einheitssphäre ${}S^{2}$ bewege sich in einer Sekunde vollständig (vom Nordpol aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn) um die Polachse. Welche differenzierbare Kurve und welcher Tangentialvektor an einen Punkt ${}P\in S^{2}$ gehört zu dieser Bewegung? Beschreibe das zugehörige Vektorfeld

$S^{2}\longrightarrow TS^{2}\subseteq T\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{6}.$

Aufgabe

Man entwickle die Grundzüge einer Theorie der „komplexen Mannigfaltigkeiten“. Was ist die zugrunde liegende reelle Mannigfaltigkeit, was ist die (komplexe/reelle) Dimension, wie sieht der Tangentialraum aus?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

$-2{\begin{pmatrix}3\\6\\-2\\5\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}2\\7\\4\\0\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\3\\-4\\-2\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\6\\5\\-4\end{pmatrix}}$

in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{4}$ aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das zweite Dachprodukt ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}$ mit der Standardbasis ${}e_{i}\wedge e_{j}$, ${}i<j$, und der zugehörigen Dualbasis ${}\varphi _{ij}=e_{ij}^{*}$. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \varphi (x)={\sqrt {\sum _{i<j}(\varphi _{ij}(x))^{2}}},$

die Eigenschaft besitzt, dass ${}\varphi (v\wedge w)$ mit dem Flächeninhalt des von ${}v$ und ${}w$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}4&-2&5\\6&8&-3\\1&4&-1\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu ${}\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$. Zeige, dass es zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k+n}V$

mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Basis

$v_{1}={\begin{pmatrix}9\\8\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}}$

von ${}\mathbb {R} ^{3}$ und die dadurch induzierte Basis

${\mathfrak {v}}=v_{1}\wedge v_{2},\,v_{1}\wedge v_{3},\,v_{2}\wedge v_{3}$

von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ und der Standardbasis ${}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3},\,e_{2}\wedge e_{3}$.

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (10 Punkte)

Erstelle eine Animation, die Aufgabe 79.8 illustriert.