Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine positive \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^x }
{ =} { \exp \left( x \cdot \ln b \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {a^z } {,} zur Basis
\mathl{a \in \R_+}{} die folgenden Rechenregeln gelten \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{a,b \in \R_+}{} und \mathlk{z,w \in {\mathbb C}}{,} bei (4) sei zusätzlich \mathlk{z \in \R}{}} {} {.} \aufzaehlungvier{
\mathl{a^{z+w} = a^z \cdot a^w}{.} }{
\mathl{a^{-z} = { \frac{ 1 }{ a^z } }}{.} }{
\mathl{(ab)^z = a^z b^z}{.} }{
\mathl{(a^z)^w = a^{zw}}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen. \aufzaehlungvier{Es ist \mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,} das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur \definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$. }{Es gilt
\mathl{\log_{ b } (y \cdot z) = \log_{ b } y + \log_{ b } z}{} }{Es gilt
\mathl{\log_{ b } y^u = u \cdot \log_{ b } y}{} für
\mathl{u \in \R}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y }
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) } }
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,d }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $d$ fixiert. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ b \rightarrow 0 } \, b^d }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert $z$ und
\mathl{{ \left( a_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert $a$. Zeige, dass die durch
\mathl{w_n = a_n^{z_n}}{} definierte Folge gegen
\mathl{a^z}{} konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert $z$ und
\mathl{{ \left( a_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert $0$. Zeige durch ein Beispiel, dass die durch
\mathl{w_n = a_n^{z_n}}{} definierte Folge nicht konvergieren muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {summierbare Familie}{}{} \definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{} und $J \subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie
\mathbed {a_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} summierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine \definitionsverweis {Indexmenge}{}{} und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Familie}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Die Betragsfamilie
\mathbed {\betrag { a_i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} sei \definitionsverweis {summierbar}{}{.} Zeige, dass
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} summierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine \definitionsverweis {Indexmenge}{}{} und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Familie}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Die Familie
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} sei \definitionsverweis {summierbar}{}{.} Zeige, dass
\mathbed {\betrag { a_i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} summierbar ist.

}
{} {}

Für Familien, anders wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine \definitionsverweis {Indexmenge}{}{} und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Familie}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Zeige, dass diese Familie genau dann \definitionsverweis {summierbar}{}{} ist, wenn die Familie
\mathdisp {\betrag { a_E } = \betrag { \sum_{ i \in E} a_i } , E \subseteq I,\, E \text{ endlich}} { , }
\definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.} Berechne zur \definitionsverweis {summierbaren Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
die Teilsummen
\mathdisp {s_k = \sum_{\ell \in \N} z^k z^\ell} { }
zu jedem $k \in \N$ und berechne $\sum_{k \in \N} s_k$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.} Zu $j \in \Z$ sei
\mathdisp {I_j= { \left\{ (k, \ell) \in \N^2 \mid k-\ell = j \right\} }} { . }
Berechne zu jedem $j \in \Z$ zur \definitionsverweis {summierbaren Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
die Teilsummen
\mathdisp {t_j = \sum_{(k, \ell) \in I_j } z^k z^\ell} { }
und berechne $\sum_{j \in \Z} t_j$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die Familie
\mathdisp {\frac{1}{q^2}, \, q \in \Q\, \cap \, [2,3]} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_3$ der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.

}
{} {(Für $d_1$ ist es hilfreich, eine Formel für $\sum_{n=k}^\infty z^n$ aufzustellen. Für $d_2, d_3$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül haben wir bald eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen. Dieser beruht für Potenzreihen allerdings auf dem Entwicklungssatz.)}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathbed {a_{ k }} {}
{k \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Familie}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Zeige, dass diese Familie genau dann \definitionsverweis {summierbar}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M \subseteq \N_+$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine $9$ vorkommt. Zeige, dass
\mathdisp {\sum_{n \in M} \frac{1}{n}} { }
\definitionsverweis {summierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme, ob die Familie
\mathdisp {\frac{1}{a^2+b^2}, \, a,b \in \N_+} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $I$ eine Indexmenge und
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {summierbare Familie}{}{} von \definitionsverweis {nichtnegativen}{}{} \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {J = { \left\{ i \in I \mid a_i \neq 0 \right\} }} { }
\definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_6$ der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} $1$.

}
{} {}