Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 17

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}b>0$ eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}b^{x}=\exp \left(x\cdot \ln b\right)\,.$

Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto a^{z},$

zur Basis ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $z,w\in {\mathbb {C} }$, bei (4) sei zusätzlich $z\in \mathbb {R}$).

1. ${}a^{z+w}=a^{z}\cdot a^{w}$.
2. ${}a^{-z}={\frac {1}{a^{z}}}$.
3. ${}(ab)^{z}=a^{z}b^{z}$.
4. ${}(a^{z})^{w}=a^{zw}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgabe

Es seien ${}b,d>0$ und ${}d$ fixiert. Zeige

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow 0}\,b^{d}=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert ${}z$ und ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert ${}a$. Zeige, dass die durch ${}w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge gegen ${}a^{z}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert ${}z$ und ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert ${}0$. Zeige durch ein Beispiel, dass die durch ${}w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge nicht konvergieren muss.

Aufgabe

Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie ${}a_{i}$, ${}i\in J$, summierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}a_{i}$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Für Familien, anders wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie

$\vert {a_{E}}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}}\vert ,E\subseteq I,\,E{\text{ endlich}},$

nach oben beschränkt ist.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

summierbar ist.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Berechne zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$s_{k}=\sum _{\ell \in \mathbb {N} }z^{k}z^{\ell }$

zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und berechne ${}\sum _{k\in \mathbb {N} }s_{k}$.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zu ${}j\in \mathbb {Z}$ sei

$I_{j}={\left\{(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}\mid k-\ell =j\right\}}.$

Berechne zu jedem ${}j\in \mathbb {Z}$ zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$t_{j}=\sum _{(k,\ell )\in I_{j}}z^{k}z^{\ell }$

und berechne ${}\sum _{j\in \mathbb {Z} }t_{j}$.

Aufgabe *

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{q^{2}}},\,q\in \mathbb {Q} \,\cap \,[2,3],$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{3}$ der geometrischen Reihe im Entwicklungspunkt ${}{\frac {1}{2}}$.

(Für ${}d_{1}$ ist es hilfreich, eine Formel für ${}\sum _{n=k}^{\infty }z^{n}$ aufzustellen. Für ${}d_{2},d_{3}$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül haben wir bald eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen. Dieser beruht für Potenzreihen allerdings auf dem Entwicklungssatz.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}a_{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine ${}9$ vorkommt. Zeige, dass

$\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$

summierbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{a^{2}+b^{2}}},\,a,b\in \mathbb {N} _{+},$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge

$J={\left\{i\in I\mid a_{i}\neq 0\right\}}$

abzählbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{6}$ der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt ${}1$.