- Übungsaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes .
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes .
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes .
Bestimme direkt
(ohne Verwendung von Ableitungsregeln)
die
Ableitung
der
Funktion
-
in einem beliebigen Punkt
.
Wir betrachten die Funktion
-
Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind
(die also durch den Nullpunkt verlaufen).
Zeige, dass die
reelle Betragsfunktion
-
im Nullpunkt nicht
differenzierbar
ist.
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
-
mit Hilfe von
-
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
Es sei
und
.
a) Bestimme die
Ableitung
von
und von .
b) Berechne die
Hintereinanderschaltung
.
c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von mittels der
Kettenregel.
Es sei
-
eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache
Hintereinanderschaltung
()
-
die Beziehung
-
gilt.
Zeige, dass die
Funktion
-
differenzierbar
ist, aber nicht zweimal
differenzierbar.
Es sei
und seien
-
zwei -mal
differenzierbare Funktionen.
Zeige, dass
-
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Bestimme, ob die
komplexe Konjugation
-
differenzierbar
ist oder nicht.
Es sei
offen
und seien
-
differenzierbare Funktionen.
Beweise die Formel
-
Es sei ein
Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine
Nullstelle
sämtlicher
Ableitungen ist.
Es sei
-
eine
rationale Funktion.
Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine
(höhere)
Ableitung
mit
gibt.