Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18



Übungsaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).


Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von


Bestimme die Ableitung der Funktion


Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.


Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.


Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.


Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Es sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).

Es sei

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()

die Beziehung

gilt.


Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.


Die Funktion

sei für negatives konstant gleich und folge für dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt und Radius . Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.


Es sei und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Es sei

ein Polynom vom Grad und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

differenzierbar ist oder nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.



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