Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,

die durch

f(x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor ,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ gerade}},\\\lfloor x\rfloor -x+1,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ ungerade}},\end{cases}}

definiert ist. Untersuche ${}f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+2.

Finde die Punkte ${}a\in [-3,3]$ derart, dass die Steigung der Funktion in ${}a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen ${}-3$ und ${}3$ ist.

Aufgabe *

Es seien

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ . Es gelte

f(a)\geq g(a){\text{ und }}f'(x)\geq g'(x){\text{ für alle }}x\geq a.

Zeige, dass

f(x)\geq g(x){\text{ für alle }}x\geq a{\text{ gilt}}.

Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Satz 19.7 aus.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{2}e^{-t}.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$ . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe *

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$ . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe *

Es sei

{}f(x)=x^{3}+x-1\,.

a) Zeige, dass die Funktion ${}f$ im reellen Intervall ${}[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl ${}q\in [0,1]$ derart an, dass ${}\vert {f(q)}\vert \leq {\frac {1}{10}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei

{}D(I,\mathbb {R} )={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ${}D(I,\mathbb {R} )$ ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

D(I,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f',

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 19.9).

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

{\frac {x^{3}-2x^{2}+x+4}{x^{2}+x}}

im Punkt ${}-1$ .

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}

im Punkt ${}1$ , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\sqrt {1-x}}{\sqrt[{3}]{1-x^{2}}}}.

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {2x-3}{5x^{2}-3x+4}},

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

f\colon [-4,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=3x^{3}-7x^{2}+6x-3.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {3x^{2}-2x+1}{x-4}},

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion vom Grad ${}d\geq 1$ . Es sei ${}m$ die Anzahl der lokalen Maxima von ${}f$ und ${}n$ die Anzahl der lokalen Minima von ${}f$ . Zeige, dass bei ${}d$ ungerade ${}m=n$ und bei ${}d$ gerade ${}\vert {m-n}\vert =1$ ist.