Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {komponentenweisen}{}{}
Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die folgenden Teilmengen.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \geq -3 \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 2 \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 5 \right\} }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }
b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 3+4 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde zu einer
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} {a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die folgenden Aussagen zu
\definitionsverweis {Real}{}{-}
und
\definitionsverweis {Imaginärteil}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) }
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } +
\operatorname{Re} \, { \left( w \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) }
}
{ = }{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {(x+ { \mathrm i} y)^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass innerhalb der
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
folgende Rechenregeln gelten.
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ = }{ \frac{z+ \overline{ z } }{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }
}
{ = }{ \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z }
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z^{-1}
}
{ = }{ { \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Regeln für den
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
\aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ =} { \betrag { \overline{ z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw }
}
{ =} { \betrag { z } \betrag { w }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { 1/z }
}
{ = }{ 1/ \betrag { z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag {
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
}
{ \leq} { \betrag { z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Folge komplexer Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n
}
{ =} {x_n + { \mathrm i} y_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn sowohl $x_n$ als auch $y_n$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Für den Grenzwert gilt dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} z_n
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} x_n + { \mathrm i} \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in ${\mathbb C}$. Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungfuenf{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n+y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n+y_n) = ( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n) + ( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n)} { . }
}{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n \cdot y_n) = ( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n) \cdot ( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n)} { . }
}{Für
\mathl{c \in {\mathbb C}}{} gilt
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} cx_n =c ( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n)} { . }
}{Es sei
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{} und
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle $n \in \N$. Dann ist
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}= \frac{1}{x}} { . }
}{Es sei
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{} und
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Dann ist ${ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }$ ebenfalls konvergent mit
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n}= \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{x}} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge ${ \left( z^n \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge ${ \left( z^n \right) }_{ n \in \N }$
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die in
Beispiel 8.11
angegebene Formel für die
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
einer
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ az^2+bz+c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mindestens eine komplexe Lösung $z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a,b,c \in {\mathbb C}$ mit $a \neq 0$. Man charakterisiere, wann es für die Gleichung
\mathdisp {az^2+bz+c=0} { }
genau eine Lösung in ${\mathbb C}$ gibt und wann zwei Lösungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung
\mathdisp {z^2+5 { \mathrm i} z-3=0} { . }
}
{} {}
Der Begriff eines Häufungspunktes lässt sich unmittelbar auf komplexe Folgen erweitern.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der \definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} ${ \left( { \mathrm i}^n \right) }_{ n \in \N }$. Man gebe für jeden Häufungspunkt eine \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} an, die gegen diesen Punkt \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4,5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
die folgenden Rechenregeln gelten.
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z+w }
}
{ = }{ \overline{ z } + \overline{ w }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ -z }
}
{ = }{ - \overline{ z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z \cdot w }
}
{ = }{ \overline{ z } \cdot \overline{ w }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 1/z }
}
{ = }{ 1/\overline{ z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \overline{ z } }
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z }
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung
\mathdisp {z^3=1} { }
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien $n$ komplexe Zahlen
\mathl{z_1,z_2 , \ldots , z_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \betrag { z_i-w }
}
{ \geq} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
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