Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex

\setcounter{section}{45}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.

\inputaufgabe
{}
{

Ist die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} im Punkt $-3$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{?} Was ist das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} in diesem Punkt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die Addition \maabbeledisp {+} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R} } {(x,y)} {x+y } {,} und für die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { {\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } { (x,y) } { x \cdot y } {,} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v) }
{ = }{w }
{ \in }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} {G} {W } {} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit dem Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{{\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi)\right)_{P} }
{ =} { a \left(D\varphi\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ im Nullpunkt \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in jedem Punkt \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$, $W_1$ und $W_2$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} \aufzaehlungzwei {Es seien \maabb {L_1} {V} {W_1 } {} und \maabb {L_2} { V} {W_2 } {} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {L_1 \times L_2} {V} { W_1 \times W_2 } {v} {(L_1(v),L_2(v)) } {,} ${\mathbb K}$-linear ist. } {Es seien \maabb {f_1} { V} {W_1 } {} und \maabb {f_2} {V } { W_2 } {} im Punkt
\mathl{P \in V}{} \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {f=(f_1 \times f_2)} {V} {W_1 \times W_2 } {Q} {(f_1(Q),f_2(Q)) } {,} im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P} }
{ =} {\left(Df_1\right)_{P} \times \left(Df_2\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge. Weiter seien \maabb {f,g} {G } {W } {} Abbildungen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir nennen
\mathl{f,g}{} im Punkt $P$ \stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn der \definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, { \frac{ (f-g)(P+v) }{ \Vert {v} \Vert } }} { }
existiert und gleich $0$ ist. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Abbildungsmenge von $G$ nach $W$ gegeben ist. }{Es sei $f$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.} Zeige, dass $f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist. }{Es seien \mathkor {} {f} {und} {g} {} tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall $f$ genau dann in $P$ total differenzierbar ist, wenn dies für $g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt $P$ übereinstimmen. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K} \times V} { V } {(s,v)} {sv } {,} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (s,v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} (t,w) }
{ =} {tv+ sw }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven \zusatzklammer {für eine differenzierbare Kurve \maabb {f} {J} {V } {} und eine differenzierbare Umparametrisierung \maabb {h} {I} {J } {}} {} {} ab.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I \subseteq \R$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.2.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge. Weiter seien \maabb {f,g} {G } {\R } {} zwei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.2 auf das Diagramm
\mathdisp {G \stackrel{f,g} \longrightarrow \R \times \R \stackrel{\operatorname{mult} } \longrightarrow \R} { }
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \cdot g)\right)_{P} }
{ =} { g(P) \cdot \left(Df \right)_{P} + f(P) \cdot \left(Dg\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Intervall,
\mathl{W}{} ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {I} {W } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.} Zeige, dass zwischen dem \definitionsverweis {totalen Differential}{}{} und der \definitionsverweis {Kurven-Ableitung}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{t} { \left( 1 \right) } }
{ =} { \varphi'(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,} \maabb {\varphi} {G} {W } {} eine Abbildung und \maabb {L} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} in $P$ mit dem \definitionsverweis {totalen Differential}{}{} $L$. }{ Der \definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$. }{Der Limes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{ \Vert {\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)} \Vert}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} in einer Variablen. Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb R}^n} { {\mathbb R}^n } {(x_1 , \ldots , x_n)} {(f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n)) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien $V$ und $W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt, \maabb {\varphi} {G} {W } {} und \maabb {f} {G} { {\mathbb K} } {} in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass dann die Produktabbildung \maabbdisp {f \cdot \varphi} {G} {W } {} in $P$ differenzierbar ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \cdot \varphi)\right)_{P} }
{ =} { f(P) \cdot \left(D \varphi\right)_{P} + \left(Df\right)_{P} \cdot \varphi (P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {Tipp: Verwende Aufgabe 45.9 und die Kettenregel.}