Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Vorlesung 35/latex
\setcounter{section}{35}
\zwischenueberschrift{Der Abschluss in einem metrischen Raum}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Berührpunkt}{} von $T$, wenn zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T \cap U { \left( a,\epsilon \right) }
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Die Menge aller
\definitionsverweis {Berührpunkte}{}{}
von $T$ heißt der \definitionswort {Abschluss}{} von $T$. Er wird mit $\overline{ T }$ bezeichnet.
}
Der Abschluss ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die $T$ umfasst, siehe Aufgabe 35.1.
\zwischenueberschrift{Grenzwerte von Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es sei
\maabbdisp {f} {T} { L
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen weiteren metrischen Raum $L$. Dann heißt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionswort {Grenzwert}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {Limes}{}} {} {}
von $f$ in $a$, wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ B \left( a,\delta \right) \cap T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (x)
}
{ \in }{ B \left( b,\epsilon \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In diesem Fall schreibt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt. Wenn $a$ kein Berührpunkt von $T$ ist, so ist die obige Definition grundsätzlich auch formulierbar, doch dann ist jedes $b$ ein Grenzwert.
\inputnotation{}{
In der Situation von
Definition 35.3
wird der Grenzwert, falls er existiert, mit
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in T , \, x \rightarrow a } \, f(x) \text{ bzw. mit } \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} { }
bezeichnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\zusatzklammer {mit der von $\R$ induzierten Metrik} {} {,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{}
von $T$ ist. Eine Abbildung
\maabbdisp {f} {T} {L
} {}
in einen metrischen Raum $L$ ist dasselbe wie eine Folge in $L$, da ja einfach jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ = }{ f( { \frac{ 1 }{ n } })
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zugeordnet wird. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt die Abbildung $f$ in $0$ den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$b$ genau dann, wenn die Folge gegen $b$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es sei
\maabbdisp {f} {T} {L
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen weiteren metrischen Raum $L$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ L}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Abbildung $f$ besitzt in $a$ den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$b$.
}{Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq L }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(U \cap T)
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jede Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $T$, die gegen $a$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
konvergiert die
\definitionsverweis {Bildfolge}{}{}
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen $b$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$. Da $V$ offen ist gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( b,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund von (1) gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f( T \cap U { \left( a,\delta \right) } )
}
{ \subseteq} { U { \left( b,\epsilon \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ T \cap U { \left( a,\delta \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen.
$(2) \Rightarrow (3)$. Es sei eine gegen $a$ konvergente Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Für die offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U { \left( b,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nach (2) eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(U \cap T)
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Offenheit von $U$ gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( a,\delta \right) } \cap T
}
{ \subseteq }{ U \cap T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $a$ konvergiert, gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ U { \left( a,\delta \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese $n$ ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_n)
}
{ \in }{ U { \left( b,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. die Bildfolge konvergiert gegen $b$.
$(3) \Rightarrow (1)$. Nehmen wir an, dass $b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U { \left( a,\delta \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \notin }{ U { \left( b,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche
\mathbed {\delta=1/n} {,}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
an und erhalten eine Folge
\mathdisp {x_n \in U { \left( a,1/n \right) } \text{ und } f(x_n) \not\in U { \left( b,\epsilon \right) }} { . }
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert dann gegen $a$, die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} aber nicht gegen $b$, im Widerspruch zu (3).
{Metrischer Raum/K/Grenzwert/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$.}
\faktvoraussetzung {Es seien
\maabb {f} {T} {{\mathbb K}
} {}
und
\maabb {g} {T} { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Grenzwerte}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} {und} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} {}
existieren.}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Beziehungen.
\aufzaehlungdrei{Die Summe
\mathl{f+g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x)+g(x))
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) + \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x) \cdot g(x))
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) \cdot \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt der Quotient
\mathl{f/g}{} einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, \frac{f(x)}{ g(x)}
}
{ =} { \frac{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) }{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 35.4. }
\zwischenueberschrift{Zusammenhängende Räume}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Connected_and_disconnected_spaces2.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die rote Menge ist zusammenhängend, die grüne Menge nicht.} }
\bildlizenz { Connected and disconnected spaces2.svg } {} {Dbc334} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} heißt \definitionswort {zusammenhängend}{,} wenn es genau zwei Teilmengen von $X$ gibt \zusatzklammer {nämlich \mathkor {} {\emptyset} {und} {X} {} selbst} {} {,} die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.
}
Den leeren metrischen Raum bezeichnet man gemäß dieser Definition als nicht zusammenhängend
\zusatzklammer {oder \stichwort {unzusammenhängend} {}} {} {.}
Ein nichtleerer nicht zusammenhängender Raum $X$ ist dadurch ausgezeichnet, dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ A \cup B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als disjunkte Vereinigung schreiben kann, wobei
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
beide nichtleer und in $X$ abgeschlossen
\zusatzklammer {und damit auch beide offen} {} {}
sind.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Trichoplax_mic.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Das Tierchen Trichoplax adhaerens hat merkwürdige Zusammenhangseigenschaften. Es ist ein zusammenhängender Vielzeller. Wenn man es durch ein Sieb drückt, sodass die einzelnen Zellen voneinander getrennt werden, entstehen unzusammenhängende Zellen. Diese finden dann aber wieder zueinander und es entsteht erneut ein zusammenhängendes lebendiges Tierchen.} }
\bildlizenz { Trichoplax mic.jpg } {} {Ovoigt} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In der folgenden Aussage verstehen wir unter Intervalle auch die
\zusatzklammer {einseitig oder beidseitig} {} {}
unbeschränkten Intervalle, wie z.B.
\mathl{[a,+ \infty]}{.}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
der
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ genau dann
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{,}
wenn $T$ ein
\zusatzklammer {nichtleeres} {} {}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zuerst $T$ kein Intervall. Wenn $T$ leer ist, so ist $T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber kein Intervall. Dann gibt es nach
Aufgabe 6.14
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,z
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \notin }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { y
}
{ <} { z
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { T \cap {]{-\infty},y[}
}
{ =} { T \cap {]{-\infty},y]}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $T$, da man $A$ sowohl als Durchschnitt von $T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen
\mathkor {} {x \in A} {und} {z \notin A} {}
ist sie weder
\mathkor {} {\emptyset} {noch} {T} {,}
also ist $T$ nicht zusammenhängend.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $T$ ein nichtleeres Intervall und
sei angenommen, dass es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \neq }{ \emptyset,T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die in $T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathbed {y\in T} {,}
{y \not\in A} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten das
\zusatzklammer {abgeschlossene und beschränkte} {} {}
Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ [x,y]
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {ohne Einschränkung sei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x
}
{ < }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A'
}
{ = }{ A \cap [x,y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine in $I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von $I$, die wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht leer ist und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \notin }{ A'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht ganz $I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ [x,y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge $A$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \notin }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Wir betrachten die reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ {\operatorname{sup} \, ( A ) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wegen
Satz 7.5
existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört $s$ zu $I$ und aufgrund von
Korollar 33.17
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $A$ aber auch offen in $T$ ist, gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [s-\delta, s+\delta] \cap I
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $s$ das Supremum von $A$ ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Dies ist ein Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \notin }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
Insbesondere sind also die reellen Zahlen $\R$ zusammenhängend. Dies gilt auch für die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ und für den $\R^n$
\zusatzklammer {siehe
Satz 35.13} {} {.}
Für die rationalen Zahlen $\Q$ gilt die vorstehende Aussage nicht, dort sind nämlich nur die einpunktigen Intervalle zusammenhängend, alle anderen Intervalle sind in $\Q$ unzusammenhängend, da es zwischen zwei rationalen Zahlen stets irrationale Zahlen gibt, mit deren Hilfe man Teilmengen definieren kann, die zugleich offen als auch abgeschlossen sind.
\zwischenueberschrift{Zusammenhängende Räume und stetige Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathdisp {f(S)} { }
zusammenhängend.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(S)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
und
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
Teilmenge, die weder leer noch ganz $T$ sei. Die eingeschränkte Abbildung
\maabbdisp {f} {S} {T
} {}
ist ebenfalls
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
und sie ist auch
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
Daher ist
\mathl{f^{-1}(A)}{} eine offene und abgeschlossene Teilmenge in $S$, die ebenfalls weder leer noch ganz $S$ ist, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $S$ zusammenhängend ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Intermediatevaluetheorem.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Intermediatevaluetheorem.svg } {Enoch Lau} {Kpengboy} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Daraus ergibt sich auch ein neuer Beweis für den Zwischenwertsatz aus Analysis I.
\zwischenueberschrift{Wegzusammenhängende Räume}
\inputdefinition
{}
{
Ein nichtleerer
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
$X$ heißt \definitionswort {wegzusammenhängend}{,} wenn es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {X
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=x} {und} {\gamma(b) =y} {}
gibt.
}
\inputfaktbeweis
{Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Zusammenhängend/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{}
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ U_1 \uplus U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in zwei nichtleere offene Teilmenge
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {.}
Sei
\mathkor {} {x_1 \in U_1} {und} {x_2 \in U_2} {.}
Nach Voraussetzung gibt es eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {X
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=x_1} {und} {\gamma(b)=x_2} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ =} { \gamma^{-1}(U_1) \uplus \gamma^{-1}(U_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu
Satz 35.9.
Mit dieser Aussage lässt sich häufig zeigen, dass gewisse Teilmengen des $\R^n$ zusamenhängend sind. Beispielsweise ist der $\R^n$ selbst sowie die offenen und abgeschlossenen Kugeln darin zusammenhängend, siehe
Aufgabe 35.14.
\inputfaktbeweis
{R^n/Offene Teilmenge/Zusammenhängend und wegzusammenhängend/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $U$ genau dann
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{,}
wenn $U$
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die eine Richtung folgt aus
Lemma 35.12.
Für die andere Richtung sei $U$ zusammenhängend. Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Menge
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{Z(x)
}
{ =} { { \left\{ y \in U \mid \text{ Es gibt einen stetigen Weg von } x \text{ nach } y \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z(x_1)
}
{ = }{Z(x_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z(x_1) \cap Z(x_2)
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $U$ nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \neq }{Z(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es gäbe eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {Z(x) \uplus \bigcup_{y \notin Z(x) } Z(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.
Für nicht offene Teilmengen des $\R^n$ gilt die vorstehende Äquivalenz nicht, siehe
Aufgabe 35.17.