Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 63/latex

\setcounter{section}{63}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{W =[0,1[^n}{} der halboffene Einheitswürfel im $\R^n$. Zeige, dass für jedes
\mathl{k \in \N_+}{} und das zugehörige \definitionsverweis {Gittermaß}{}{} $\mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } } (W) }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \Q \cap [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das zugehörige \definitionsverweis {Gittermaß}{}{} $\mu_{ \epsilon }$. Zeige, dass
\mathdisp {\lim_{k \rightarrow \infty} \mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } }(T)} { }
existiert, dass aber
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, \mu_{ \epsilon }(T)} { }
nicht existiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $(M, {\mathcal A }, \mu)$ ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und seien
\mathbed {T_i \subseteq M} {}
{i =1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {messbare Teilmengen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\mu(T_i) }
{ < }{ \infty }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J }
{ \subseteq }{ \{1 , \ldots , n\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_J }
{ =} { \bigcap_{i \in J} T_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \bigcup_{i = 1}^n T_i \right) } }
{ =} { \sum_{k = 1}^n (-1)^{k+1} { \left( \sum_{J \subseteq \{1 , \ldots , n \} ,\, { \# \left( J \right) } = k } \mu (T_J) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 , \, y \geq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der obere Einheitshalbkreis und \maabbeledisp {p} {M} { [-1,1] } {(x,y)} {x } {,} die Projektion auf die $x$-Achse. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} seien
\mathl{n+1}{} Punkte auf $M$ gleichverteilt in dem Sinne, dass \mathkor {} {(1,0)} {und} {(-1,0)} {} dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einschließlich der Bildpunkte unter $p$.

b) Es sei $\mu_n$ das \definitionsverweis {Zählmaß}{}{} auf $M$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert $1$ erhält und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\nu_n }
{ =} { p_* \mu_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das zugehörige \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} auf
\mathl{[-1,1]}{.} Man gebe eine Formel für
\mathdisp {\nu_n([ t ,1])} { }
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ t }
{ \in }{ [-1,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} mit Hilfe des \definitionsverweis {Arkuskosinus}{}{} an.

c) Bestimme
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \nu_n([1- { \frac{ 2 }{ n } } ,1])} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {streng wachsende Funktion}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir die \definitionsverweis {äquidistante Unterteilung}{}{} des Einheitsintervalls in $k$ gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} $s_k$ von $f$ und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion $t_k$. Es seien \mathkor {} {S_k} {bzw.} {T_k} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Subgraphen}{}{.}

a) Zeige, dass im Allgemeinen
\mathbed {S_{k}} {}
{k \in \N_+} {}
{} {} {} {,} keine \definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{} und
\mathbed {T_{k}} {}
{k \in \N_+} {}
{} {} {} {,} keine \definitionsverweis {Schrumpfung}{}{} ist.

b) Zeige, dass
\mathbed {S_{2^n}} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} eine Ausschöpfung und
\mathbed {T_{2^n}} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} eine Schrumpfung ist.

c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von $f$?

d) Wogegen \definitionsverweis {konvergieren}{}{} die zugehörigen Folgen von \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man zeige durch ein Beispiel, dass die \anfuehrung{Schrumpfungsformel}{} aus Lemma 63.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wo geht in den Beweis zu Satz 63.7 die \definitionsverweis {Endlichkeit}{}{} der $M_n$ ein?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Überdeckung aus \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{,} wobei $I$ \definitionsverweis {abzählbar}{}{} sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist genau dann eine \definitionsverweis {Borelmenge}{}{,} wenn
\mathl{T \cap U_i}{} eine Borelmenge ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

b) Ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches}{}{} \definitionsverweis {Maß}{}{} $\mu$ ist durch die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_i }
{ = }{ \mu {{|}}_{U_i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\sigma$-endliches Maß $\mu_i$ auf $U_i$ gegeben. Für jedes Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_i {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ =} {\mu_j {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\sigma$-endliches Maß auf $X$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu {{|}}_{U_i} }
{ = }{ \mu_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\beta} {\R^k} { \R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid \beta (x) >0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $\mu$ genau dann $\sigma$-\definitionsverweis {endlich}{}{} ist, wenn $T$ \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\beta} {\R^k} { \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \} } {} eine \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Für jede \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $\R^k$ sei die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^\infty \beta (x_n) }
{ < }{ \infty }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt. Zeige, dass $\mu$ $\sigma$-\definitionsverweis {endlich}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} eines \definitionsverweis {Maßes}{}{} unter einer \definitionsverweis {messbaren Abbildung}{}{} in der Tat ein Maß ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{(M, {\mathcal A })}{,}
\mathl{(N, {\mathcal B })}{} und
\mathl{(S, {\mathcal C })}{} \definitionsverweis {Messräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} und \maabbdisp {\psi} {N} {S } {} \definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{.} Es sei $\mu$ ein \definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$. Zeige, dass für die \definitionsverweis {Bildmaße}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\psi \circ \varphi)_*\mu }
{ =} { \psi_*( \varphi_*\mu) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {Messräume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{\delta_x}{} das im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konzentrierte \definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_*(\delta_x) }
{ = }{ \delta_{\varphi(x)} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {Messräume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {\beta} {M} { \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \} } {} eine \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\varphi_* \mu}{} ebenfalls ein Summationsmaß ist und bestimme die zugehörige Belegungsfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Produkttopologie}{}{} auf
\mathl{X \times Y}{} die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden \definitionsverweis {Projektionen}{}{} \mathkor {} {X \times Y \rightarrow X} {und} {X \times Y \rightarrow Y} {} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Diagonale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle }
{ =} {{ \left\{ (x,y) \in X \times X \mid x = y \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{} im \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times X}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{X,Y,Z}{} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {f} {X} {Y } {} und \maabbdisp {g} {X} {Z } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {(f,g)} { X} {Y \times Z } {x} { (f(x),g(x)) } {,} ebenfalls stetig ist.

}
{} {}


Es sei $M$ eine Menge. Unter der \definitionswort {diskreten Topologie}{} auf $M$ versteht man diejenige \definitionsverweis {Topologie}{}{,} bei der jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} ist.




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {diskrete topologische Räume}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} diskret ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} zum \definitionsverweis {Gittermaß}{}{} zum Gitterabstand $\epsilon >0$ im $\R^n$.

}
{} {}


Eine \definitionswort {Äquivalenzrelation}{} auf einer Menge $M$ ist eine \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{M \times M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die die folgenden drei Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x,y,z }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\definitionswort {reflexiv}{}} {} {.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\definitionswort {symmetrisch}{}} {} {.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\definitionswort {transitiv}{}} {} {.} } Dabei bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass das Paar
\mathl{(x,y)}{} zu $R$ gehört.




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{,} $(N, {\mathcal B } )$ ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und
\mathl{C}{} die Menge der \definitionsverweis {messbaren Abbildungen}{}{} von \mathkor {} {M} {nach} {N} {.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mathdisp {f \sim g, \text{ falls } \mu ( { \left\{ x \in M \mid f(x) \neq g(x) \right\} } ) = 0} { }
\zusatzklammer {dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien} {} {.} Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, \mu_{ \epsilon }(S) }
{ =} { \pi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $\mu_{ \epsilon }$ das \definitionsverweis {Gittermaß}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezeichnet.

}
{} {(Man denke an das Riemann-Integral.)}




\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für einen $\sigma$-\definitionsverweis {endlichen Maßraum }{}{}
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} und eine \definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} in einen \definitionsverweis {Messraum}{}{} $N$ derart, dass das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} $\varphi_*\mu$ nicht $\sigma$-endlich ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {(M_1,d_1)} {und} {(M_2,d_2)} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{.} Zeige, dass auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( (x_1,x_2), (y_1,y_2)) }
{ =} { \sqrt{ d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte \definitionsverweis {Topologie}{}{} mit der \definitionsverweis {Produkttopologie}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)