Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 63

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}W=[0,1[^{n}$ der halboffene Einheitswürfel im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und das zugehörige Gittermaß ${}\mu _{\frac {1}{k}}$ die Beziehung

${}\mu _{\frac {1}{k}}(W)=1\,$

gilt.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge ${}T=\mathbb {Q} \cap [0,1]$, und zu jedem ${}\epsilon >0$ das zugehörige Gittermaß ${}\mu _{\epsilon }$. Zeige, dass

$\lim _{k\rightarrow \infty }\mu _{\frac {1}{k}}(T)$

existiert, dass aber

$\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(T)$

nicht existiert.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und seien ${}T_{i}\subseteq M$, ${}i=1,\ldots ,n$, messbare Teilmengen mit ${}\mu (T_{i})<\infty$. Für eine Teilmenge ${}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ sei

${}T_{J}=\bigcap _{i\in J}T_{i}\,.$

Beweise die Formel

${}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,$

der obere Einheitshalbkreis und

$p\colon M\longrightarrow [-1,1],\,(x,y)\longmapsto x,$

die Projektion auf die ${}x$-Achse. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ seien ${}n+1$ Punkte auf ${}M$ gleichverteilt in dem Sinne, dass ${}(1,0)$ und ${}(-1,0)$ dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für ${}n=7$ einschließlich der Bildpunkte unter ${}p$.

b) Es sei ${}\mu _{n}$ das Zählmaß auf ${}M$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert ${}1$ erhält und es sei

${}\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,$

das zugehörige Bildmaß auf ${}[-1,1]$. Man gebe eine Formel für

$\nu _{n}([t,1])$

(${}t\in [-1,1]$) mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme

$\lim _{n\rightarrow \infty }\nu _{n}([1-{\frac {2}{n}},1]).$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine streng wachsende Funktion. Zu ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die äquidistante Unterteilung des Einheitsintervalls in ${}k$ gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere Treppenfunktion ${}s_{k}$ von ${}f$ und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion ${}t_{k}$. Es seien ${}S_{k}$ bzw. ${}T_{k}$ die zugehörigen Subgraphen.

a) Zeige, dass im Allgemeinen ${}S_{k}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$, keine Ausschöpfung und ${}T_{k}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$, keine Schrumpfung ist.

b) Zeige, dass ${}S_{2^{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Ausschöpfung und ${}T_{2^{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Schrumpfung ist.

c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von ${}f$?

d) Wogegen konvergieren die zugehörigen Folgen von Treppenintegrale?

Aufgabe

Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ aus Lemma 63.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.

Aufgabe

Wo geht in den Beweis zu Satz 63.7 die Endlichkeit der ${}M_{n}$ ein?

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine Überdeckung aus offenen Mengen, wobei ${}I$ abzählbar sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge ${}T\subseteq X$ ist genau dann eine Borelmenge, wenn ${}T\cap U_{i}$ eine Borelmenge ist für jedes ${}i\in I$.

b) Ein ${}\sigma$- endliches Maß ${}\mu$ ist durch die Einschränkungen ${}\mu _{i}=\mu {|}_{U_{i}}$ eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes ${}i\in I$ ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\mu _{i}$ auf ${}U_{i}$ gegeben. Für jedes Paar ${}i,j\in I$ sei

${}\mu _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\mu _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,.$

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}\sigma$-endliches Maß auf ${}X$ mit ${}\mu {|}_{U_{i}}=\mu _{i}$.

Aufgabe

Es sei

$\beta \colon \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß ${}\mu$. Es sei

${}T={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \beta (x)>0\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}\mu$ genau dann ${}\sigma$- endlich ist, wenn ${}T$ abzählbar ist.

Aufgabe

Es sei

$\beta \colon \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$

eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß ${}\mu$. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R} ^{k}$ sei die Bedingung ${}\sum _{n=0}^{\infty }\beta (x_{n})<\infty$ erfüllt. Zeige, dass ${}\mu$ ${}\sigma$- endlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einer messbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.

Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$, ${}(N,{\mathcal {B}})$ und ${}(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

und

$\psi \colon N\longrightarrow S$

messbare Abbildungen. Es sei ${}\mu$ ein Maß auf ${}M$. Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung

${}(\psi \circ \varphi )_{*}\mu =\psi _{*}(\varphi _{*}\mu )\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ Messräume und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Es sei ${}\delta _{x}$ das im Punkt ${}x\in M$ konzentrierte Dirac-Maß. Zeige ${}\varphi _{*}(\delta _{x})=\delta _{\varphi (x)}$.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ Messräume und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Es sei

$\beta \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$

eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß ${}\mu$. Zeige, dass das Bildmaß ${}\varphi _{*}\mu$ ebenfalls ein Summationsmaß ist und bestimme die zugehörige Belegungsfunktion.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zeige, dass die Produkttopologie auf ${}X\times Y$ die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden Projektionen ${}X\times Y\rightarrow X$ und ${}X\times Y\rightarrow Y$ stetig sind.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${}X\times X$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ topologische Räume und

$f\colon X\longrightarrow Y$

und

$g\colon X\longrightarrow Z$

stetige Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

$(f,g)\colon X\longrightarrow Y\times Z,\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$

ebenfalls stetig ist.

Es sei ${}M$ eine Menge. Unter der diskreten Topologie auf ${}M$ versteht man diejenige Topologie, bei der jede Teilmenge ${}T\subseteq M$ offen ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Belegungsfunktion zum Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon >0$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$, dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}C$ die Menge der messbaren Abbildungen von ${}M$ nach ${}N$. Für ${}f,g\in C$

sei

$f\sim g,{\text{ falls }}\mu ({\left\{x\in M\mid f(x)\neq g(x)\right\}})=0$

(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien). Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe ${}S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$. Zeige, dass

${}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(S)=\pi \,,$

wobei ${}\mu _{\epsilon }$ das Gittermaß zu ${}\epsilon >0$ bezeichnet.

(Man denke an das Riemann-Integral.)

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und eine messbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

in einen Messraum ${}N$ derart, dass das Bildmaß ${}\varphi _{*}\mu$ nicht ${}\sigma$-endlich ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}(M_{1},d_{1})$ und ${}(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$ durch

${}d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,$

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.