Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 68/latex
\setcounter{section}{68}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir definieren auf $\overline{ \R }$ eine
\definitionsverweis {Topologie}{}{,}
indem wir die Mengen
\mathdisp {]a,b [ \, \, (\text{mit } a,b \in \R),\, [- \infty, a[ \, \, (\text{mit } a \in \R) \text{ und } ]a, \infty] \, \,(\text{mit }a \in \R)} { }
als
\definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{}
nehmen. Zeige, dass $\R$
\definitionsverweis {offen}{}{}
in dieser Topologie ist und die
\definitionsverweis {Unterraumtopologie}{}{}
zu dieser Topologie trägt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Borelmengen}{}{} auf $\overline{ \R }$ zu der in Aufgabe 68.1 eingeführten \definitionsverweis {Topologie}{}{} mit den in der Vorlesung direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\overline{ \R }$ mit der in
Aufgabe 68.1
eingeführten Topologie
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zum
\definitionsverweis {abgeschlossenen Intervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {M} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {numerische Funktion}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f }
}
{ =} { f_+ + f_-
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x)
}
{ =} { \sum_{k = 0 }^n { \frac{ 1 }{ k! } } x^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und \maabb {f} {M} {\R_{\geq 0} } {} eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion \maabbeledisp {\sqrt{f}} {M} {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{f(x)} } {,} messbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f_n} {X} {\R
} {}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{,}
wobei $\R$ die
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
der
\definitionsverweis {Borelmengen}{}{}
trägt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ x \in X \mid a \text{ ist ein H}\ddot{\rm a}\text{ufungspunkt der Folge } { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
von $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe eine beliebige \definitionsverweis {einfache Funktion}{}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {Indikatorfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei \definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {Messraum}{}{} wieder einfach ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{} und es seien
\maabbdisp {f,g} {M} {\R
} {}
\definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ x \in M \mid f(x) = g(x) \right\} }} { }
\definitionsverweis {messbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei $\sigma$-\definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {Messraum}{}{} wieder $\sigma$-einfach ist.
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {} heißt \definitionswort {periodisch}{} mit \definitionswort {Periode}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(x+L)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{5 (3+2)}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} mit der Periode $L>0$.
a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$f$ ist
\definitionsverweis {messbar}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $f$ auf das Intervall
\mathl{[0,L[}{} ist
\definitionsverweis {messbar}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $f$ auf jedes Intervall der Form
\mathl{[a,a+L[}{} ist
\definitionsverweis {messbar}{}{.}
}
b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die \definitionsverweis {Stetigkeit}{}{} nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die approximierenden Funktionen
\mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_5}{} für die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^2
} {,}
gemäß dem Beweis zu
Lemma 68.11.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (1+2+2+1)}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei die Funktion $f_n$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x)
}
{ =} { { \frac{ \left \lfloor nf(x) \right \rfloor }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
a) Zeige, dass die $f_n$ $\sigma$-\definitionsverweis {einfach}{}{} sind.
b) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mathbed {f_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
punktweise gegen $f$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht \definitionsverweis {wachsend}{}{} sein muss.
d) Sind die $f_n$ \definitionsverweis {messbar}{}{?}
}
{} {}
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