Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 68
- Aufwärmaufgaben
Wir definieren auf eine Topologie, indem wir die Mengen
als Basis der Topologie nehmen. Zeige, dass offen in dieser Topologie ist und die Unterraumtopologie zu dieser Topologie trägt.
Zeige, dass die Borelmengen auf zu der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie mit den in der Vorlesung direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.
Zeige, dass mit der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie homöomorph zum abgeschlossenen Intervall ist.
Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge
Es sei ein Messraum und eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion
messbar ist.
Es sei ein Messraum und es sei
() eine Folge von messbaren Funktionen, wobei die - Algebra der Borelmengen trägt. Es sei . Zeige, dass die Menge
eine messbare Teilmenge von ist.
Beschreibe eine beliebige einfache Funktion mit Hilfe von Indikatorfunktionen.
Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder einfach ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei - einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder -einfach ist.
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)
Es sei
eine periodische Funktion mit der Periode .
a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- ist messbar.
- Die Einschränkung von auf das Intervall ist messbar.
- Die Einschränkung von auf jedes Intervall der Form ist messbar.
b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die Stetigkeit nicht gelten muss.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (6 (1+2+2+1) Punkte)
Es sei
eine Funktion. Zu sei die Funktion durch
definiert.
a) Zeige, dass die - einfach sind.
b) Zeige, dass die Funktionenfolge , , punktweise gegen konvergiert.
c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht wachsend sein muss.
d) Sind die messbar?
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