Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 73/latex

\setcounter{section}{73}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } xy \, d \lambda^2} { }
über dem Quader
\mathl{Q=[a,b] \times [c,d]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} unterhalb der \definitionsverweis {Standardparabel}{}{} zwischen \mathkor {} {1} {und} {3} {.} Berechne das \definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ G } x^2+xy-y^3 \, d \lambda^2} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} durch eine reelle Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} \zusatzklammer {
\mathl{c>0}{}} {} {} dividiert?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Integral zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(r,s,t) }
{ =} { s^2 t+r \cos t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem Einheitswürfel
\mathl{W=[0,1]^3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall
\mathl{[0, \pi]}{,} wobei $G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß $\lambda^2$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a)
\mathl{\int_{ G } x \, d \lambda^2}{}

b)
\mathl{\int_{ G } y \, d \lambda^2}{}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^4 } {.}

a) Bestimme zu jedem Punkt
\mathl{(r,s) \in \R^2}{} das Volumen des Körpers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid r \leq x \leq r+1 , \, s \leq y \leq s+1 , \, 0 \leq z \leq f(x,y) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Zeige, dass das \zusatzklammer {von $(r,s)$ abhängige} {} {} Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt
\mathl{(r,s)}{} minimal ist \zusatzklammer {dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise den Satz von Fubini für eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[a,b] \times [c,d]} { \R } {} mit Hilfe von Aufgabe 70.13.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^d} {\R } {} eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt
\mathl{(a_1 , \ldots , a_d) \in \R^d}{} betrachten wir \zusatzklammer {für
\mathl{(x_1 , \ldots , x_d) \in \R_{\geq a_1} \times \cdots \times \R_{\geq a_d}}{}} {} {} die Abbildung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x_1 , \ldots , x_d) }
{ \defeq} { \int_{ [a_1,x_1] \times \cdots \times [a_d,x_d]} f d \lambda^d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Es sei $f$ stetig. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_1 } } { \frac{ \partial }{ \partial x_2 } } \cdots { \frac{ \partial }{ \partial x_d } } F }
{ =} { f }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

b) Wie ist
\mathl{F(x_1 , \ldots , x_d )}{} für beliebige
\mathl{x \in \R^d}{} zu definieren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Stelle eine Formel für
\mathdisp {\int_{ [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d] } x_1^{r_1} \cdots x_d^{r_d} d \lambda^d} { }
auf und beweise sie

a) mittels dem Satz von Fubini,

b) mittels Aufgabe 73.8,

c) mittels Aufgabe 70.13.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und es sei \maabbdisp {g} {M} {\overline{ \R }_{\geq 0} } {} eine nichtnegative \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { {\mathcal A } } { \overline{ \R }_{\geq 0} } {T} { \int_{ T } g \, d \mu } {} ein \definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {Dichte}{}{} besitzt das \definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{} auf dem $\R^n$ bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für ein \definitionsverweis {Maß}{}{} auf
\mathl{(\R, {\mathcal B })}{,} das keine \definitionsverweis {Dichte}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{}es besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {g} {\R^d} {\R } {} eine stetige \definitionsverweis {Dichte}{}{} und
\mathl{\mu=g \lambda^d}{} das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte
\mathl{P \in \R^d}{} die Folge
\mathdisp {{ \frac{ \mu { \left( B \left( P, { \frac{ 1 }{ n } } \right) \right) } }{ \lambda^d { \left( B \left( P, { \frac{ 1 }{ n } } \right) \right) } } }} { }
gegen $g( P )$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei einer \definitionsverweis {Lipschitz-stetigen Abbildung}{}{} zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu Lemma 73.5 zusammen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x + \sin y ,y + \cos x) } {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf dem Quadrat
\mathl{Q=[0,2 \pi] \times [0,2 \pi ]}{.} Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
\mathl{\lambda^2( \varphi(Q))}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $G$ der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.} Berechne die \definitionsverweis {Integrale}{}{}

a)
\mathl{\int_{ G } x \, d \lambda^2}{,}

b)
\mathl{\int_{ G } y \, d \lambda^2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Berechne das \definitionsverweis {Integral}{}{} zur Funktion
\mathl{f(x,y)=x ( \sin x)( \cos \left( xy \right))}{} über dem Rechteck
\mathl{Q= [0,3 \pi] \times [0,1]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(u,v)} { { \frac{ 2uv }{ (u^2+1)(v^2+v+1) } } } {.} Für welche Quadrate
\mathl{Q=[a,a+1] \times [b,b+1]}{} der Kantenlänge $1$ wird das \definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } f \, d \lambda^2} { }
maximal? Welchen Wert besitzt es?

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{,} es sei \maabbdisp {g} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {messbare}{}{} \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{} und sei $g\mu$ das Maß zur \definitionsverweis {Dichte}{}{} $g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion \maabbdisp {f} {M} {\R } {} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d (g \mu) }
{ =} { \int_{ M } fg \, d \mu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es seien
\mathbed {(M, {\mathcal A }, \mu)} {und}
{(N, {\mathcal B }, \nu)} {}
{} {} {} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Maßräume}{}{,} und es seien \maabbdisp {g} {M} {\R } {} und \maabbdisp {h} {N} {\R } {} \definitionsverweis {messbare}{}{} \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{} mit den zu diesen \definitionsverweis {Dichten}{}{} gehörigen Maßen \mathkor {} {g \mu} {und} {h \nu} {.} Zeige, dass auf
\mathl{M \times N}{} das \definitionsverweis {Produktmaß}{}{}
\mathl{(g \mu) \otimes (h \nu)}{} mit dem Maß zur Dichte \maabbeledisp {gh} {M \times N} {\R } {(x,y)} { g(x)h(y) } {,} bezüglich
\mathl{\mu \otimes \nu}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\mu=\varphi_*\lambda^n}{} zur Abbildung \zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {} \maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R } {(x_1 , \ldots , x_n)} { \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} } {.}

a) Zeige, dass $\mu$ ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches Maß}{}{} auf $\R$ ist.

b) Zeige, dass $\mu$ bezüglich $\lambda^1$ die \definitionsverweis {Dichte}{}{}
\mathdisp {h(t)= \begin{cases} 0 , \text{ falls } t < 0 \, , \\ n \beta_n t^{n-1} \text{ falls } t \geq 0 \, , \end{cases}} { }
besitzt, wobei $\beta_n$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x^3-y^2,xy^2) } {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf den beiden Quadraten \mathkor {} {Q_1= [0,1] \times[0,1]} {und} {Q_2= [1,2] \times[1,2]} {.} Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für \mathkor {} {\lambda^2( \varphi(Q_1))} {und für} {\lambda^2( \varphi(Q_2))} {?}

}
{} {}