Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Definitionsliste

Definition:Mengensystem

Zu einer Menge heißt eine Teilmenge der Potenzmenge ein (Teil)-Mengensystem auf .



Definition:Mengen-Algebra

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch das Komplement zu .
  3. Für je zwei Mengen ist auch .


Definition:-Algebra

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt -Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch das Komplement zu .
  3. Für jede abzählbare Familie , , ist auch


Definition:Messraum

Eine Menge , auf der eine - Algebra erklärt ist, heißt ein Messraum.



Definition:Erzeugte Sigmaalgebra

Es sei eine Menge und eine Menge von Teilmengen aus . Dann nennt man die kleinste - Algebra, die enthält, die von erzeugte -Algebra. Sie wird mit bezeichnet. Das System heißt Erzeugendensystem dieser -Algebra.



Definition:Dynkin-System

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit und gehört auch zu .
  3. Für jede abzählbare Familie , , mit paarweise disjunkten Mengen ist auch


Definition:Mengen-Präring

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch zu .
  3. Für je zwei Mengen ist auch .


Definition:Messbare Abbildung

Es seien und Messräume. Eine Abbildung

heißt messbar (oder genauer -messbar), wenn für alle das Urbild zu gehört.



Definition:Topologie

Es sei eine Menge. Eine Familie von Teilmengen von heißt Topologie auf , wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

  1. Es ist und .
  2. Sind und , so ist auch .
  3. Ist eine Indexmenge und für alle , so ist auch .

Ein topologischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Topologie auf ist.



Definition:Hausdorffsch

Ein topologischer Raum heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten offene Mengen und mit , und mit gibt.



Definition:Basis einer Topologie

Es sei ein topologischer Raum. Ein System von offenen Mengen in heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in als Vereinigung von offenen Mengen aus erhalten kann.



Definition:Topologie mit abzählbarer Basis

Es sei ein topologischer Raum. Man sagt, dass eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.



Definition:Stetig

Eine Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.



Definition:Homöomorphe Räume

Zwei topologische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.



Definition:Unterraumtopologie

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie auf : Für eine Teilmenge gilt genau dann, wenn es eine in offene Menge gibt, so dass gilt.



Definition:Borel-Mengen

Es sei ein topologischer Raum. Dann nennt man die von erzeugte - Algebra die Menge der Borel-Mengen von .



Definition:Prämaß

Es sei eine Menge und ein Mengen-Präring auf . Dann heißt eine Abbildung

ein Prämaß auf , wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus , für die ebenfalls zu gehört, gilt



Definition:Maß

Es sei eine Menge und eine - Algebra auf . Ein Prämaß auf nennt man ein Maß.



Definition:Maßraum

Eine Menge , auf der eine - Algebra und ein Maß

erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz .



Definition:Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum mit .



Definition:Zählmaß

Auf einer Menge nennt man das auf durch

definierte Maß das Zählmaß auf .



Definition:Dirac-Maß

Es sei eine Menge und ein Punkt. Das auf durch

definierte Maß heißt das im Punkt konzentrierte Dirac-Maß auf .



Definition:Gittermaß

Es sei Die Menge

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand . Das durch

für definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand .



Definition:Ausschöpfung

Es sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von bildet (oder ausschöpft), und schreibt dafür .



Definition:Schrumpfung

Es sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von bildet (oder gegen schrumpft), und schreibt dafür .



Definition:Endliches Prämaß

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf . Dann heißt endlich, wenn

für alle ist.



Definition:-endliches Prämaß

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf . Dann heißt -endlich, wenn man als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen aus mit

schreiben kann.



Definition:Bildmaß

Es sei ein Maßraum, ein Messraum und

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

definierte Maß auf das Bildmaß von unter . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Maßtreue Abbildung

Es seien und Maßräume. Eine messbare Abbildung

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge die Beziehung

gilt.



Definition:Produktraum

Unter dem Produkt der topologischen Räume und versteht man die Produktmenge zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form mit offenen Mengen und schreiben kann.



Definition:Äußeres Maß

Es sei eine Menge und ein Präring auf . Dann heißt eine Abbildung

ein äußeres Maß auf , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Für je zwei Mengen  mit gilt .
  2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus , für die ebenfalls zu gehört, gilt


Definition:Fortsetzung eines äußeren Maßes

Es sei eine Menge, ein Präring auf und

ein äußeres Maß auf . Für eine beliebige Teilmenge definiert man

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes .



Definition:Zerlegungseigenschaft (äußeres Maß)

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Man sagt, dass eine Teilmenge die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle die Gleichheit gilt.



Definition:Produkt--Algebra

Es seien Mengen mit darauf erklärten - Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern

auf erzeugte - Algebra die Produkt--Algebra der , . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Produkt-Präring

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

erzeugten Präring den Produkt-Präring der , .



Definition:Produkt-Maß

Es seien - endliche Maßräume. Dann nennt man das in Lemma 65.3 und Satz 65.4 konstruierte Maß das Produktmaß auf . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Eindimensionales Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß auf , das für jedes halboffene Intervall den Wert besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.



Definition:Das Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß auf , das für jeden Quader der Form den Wert besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf .



Definition:Translationsinvariantes Maß

Ein Maß auf heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen und alle Vektoren die Gleichheit

gilt.



Definition:Erzeugtes Parallelotop

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren gegeben. Dann nennt man

das von den erzeugte Parallelotop.



Definition:Messbare numerische Funktion

Es sei ein Messraum. Dann nennt man eine numerische Funktion

messbar, wenn sie -messbar ist.



Definition:Positiver Teil

Zu einer Funktion

nennt man den positiven Teil und den negativen Teil von .



Definition:Einfache Funktion

Es sei ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.



Definition:Sigma-einfache Funktion

Es sei ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

heißt -einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.



Definition:Subgraph

Es sei eine Menge und

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

den Subgraphen der Funktion.



Definition:Lebesgue-Integral

Es sei ein - endlicher Maßraum und

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

das Integral von über (zum Maß ).



Definition:Integrierbare Funktion

Es sei ein - endlicher Maßraum und

eine messbare numerische Funktion. Dann heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale und endlich sind. In diesem Fall nennt man

das Integral von .



Definition:Limes superior

Es sei eine Folge reeller Zahlen und es sei die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man

und

und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als bzw. als zu interpretieren).



Definition:Rotationsmenge

Zu einer Teilmenge nennt man

die zugehörige Rotationsmenge (um die -Achse).



Definition:Kegel über einer Basis

Es sei und ein Punkt. Dann nennt man die Menge

den Kegel zur Basis mit der Spitze .



Definition:Maß zu einer Dichte

Es sei ein Maßraum und es sei

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann nennt man das für jede messbare Teilmenge durch

definierte Maß auf das Maß zur Dichte . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Topologische Mannigfaltigkeit

Ein topologischer Hausdorff-Raum heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension , wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass jedes homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ist.



Definition:Karte

Es sei eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie

wobei und offen sind, eine (topologische) Karte für .



Definition:Übergangsabbildung

Es sei eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien offene Teilmengen und und seien Karten (mit offen). Dann heißt die Abbildung

die Übergangsabbildung zu diesen Karten.


Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Es seien und . Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Karten

mit offen derart, dass die Übergangsabbildungen

- Diffeomorphismen für alle sind, heißt -Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension vom Differenzierbarkeitsgrad ). Die Menge der Karten , , nennt man auch den -Atlas der Mannigfaltigkeit.



Definition:Offene Untermannigfaltigkeit

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge , die mit den eingeschränkten Karten versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.



Definition:Zusammenhängender topologischer Raum

Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.



Definition:Differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit)

Es seien und zwei -Mannigfaltigkeiten mit Atlanten und . Es sei . Eine stetige Abbildung

heißt eine -differenzierbare Abbildung, wenn für alle und alle die Abbildungen

-differenzierbar sind.



Definition:Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)

Es seien und zwei - Mannigfaltigkeiten. Ein Homöomorphismus

heißt ein -Diffeomorphismus, wenn sowohl als auch - Abbildungen sind.



Definition:Diffeomorphe Mannigfaltigkeiten

Zwei - Mannigfaltigkeiten und heißen -diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen - Diffeomorphismus gibt.



Definition:Tangential äquivalente Kurven

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Es seien

und

zwei auf offenen Intervallen definierte differenzierbare Kurven mit . Dann heißen und tangential äquivalent in , wenn es eine offene Umgebung und eine Karte

mit derart gibt, dass

gilt.



Definition:Tangentialvektor

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch . Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

bezeichnet.



Definition:Tangentialraum

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an , geschrieben , versteht man die Menge der Tangentialvektoren an versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.



Definition:Kotangentialraum

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Den Dualraum des Tangentialraumes

an nennt man den Kotangentialraum an . Er wird mit
bezeichnet.


Definition:Tangentialabbildung (in einem Punkt)

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei und . Dann nennt man die Abbildung

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Kotangentialabbildung

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei und . Dann nennt man die zur Tangentialabbildung

duale Abbildung

die Kotangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Regulärer Punkt

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

eine differenzierbare Abbildung. Dann heißt im Punkt regulär (und ein regulärer Punkt für ), wenn die Tangentialabbildung

im Punkt maximalen Rang besitzt.



Definition:Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von , wenn es zu jedem Punkt eine Karte

gibt mit offen, offen und mit



Definition:Tangentialbündel

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

versehen mit der Projektionsabbildung

das Tangentialbündel von .



Definition:Tangentialabbildung

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es seien und die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung

die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also



Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn für jede Karte

die Menge offen in ist.



Definition:Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.



Definition:Kotangentialbündel

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

versehen mit der Projektionsabbildung

und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn für jede Karte

die Menge offen in ist, das Kotangentialbündel von .



Definition:Produkt von Mannigfaltigkeiten

Es seien und zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten und . Dann nennt man den Produktraum mit den Karten

(mit und ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten und .



Definition:Äußere Potenz

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion 79.4 konstruierten) -Vektorraum die -te äußere Potenz (oder das -te Dachprodukt) von . Die Abbildung

nennt man die universelle alternierende Abbildung.



Definition:Orientierungsgleiche Basen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen und orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.



Definition:Orientierung (Vektorraum)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ist eine Äquivalenzklasse von Basen von unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.



Definition:Orientierter Vektorraum

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.



Definition:Orientierungstreue lineare Abbildung

Es seien und zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis , die die Orientierung auf repräsentiert, die Bildvektoren die Orientierung auf repräsentieren.



Definition:Orientierte Karte

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

mit und offen heißt orientiert, wenn der orientiert ist.



Definition:Orientierungstreuer Kartenwechsel

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien und orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt das totale Differential

orientierungstreu ist.



Definition:Orientierte Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Atlas heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.



Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.



Definition:Differentialform vom Grad

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine -Differentialform (oder -Form oder Form vom Grad ) ist ein Schnitt im -fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung

mit .



Definition:Zurückgezogene Form

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine -Differentialform auf . Dann nennt man die -Form auf , die der durch

gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit zurückgezogene -Form. Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Positive Volumenform

Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine messbare - Differentialform auf . Dann heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

(mit und Koordinatenfunktionen ) in der lokalen Darstellung der Differentialform

die Funktion überall positiv ist.



Definition:Volumenmaß zu positiver Form

Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei eine positive Volumenform auf . Dann heißt die für jede Borelmenge durch eine abzählbare Zerlegung (wobei ein offenes Kartengebiet und ist) definierte Zahl

(aus ) das Maß von zu oder das Integral von über .



Definition:Wegintegral

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine - Differentialform. Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

das Wegintegral von längs .



Definition:Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum , , ein Skalarprodukt erklärt ist derart, dass für jede Karte

mit die Funktionen (für )

- differenzierbar sind.



Definition:Kanonische Volumenform

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension . Zu sei diejenige alternierende Form auf (bzw. das entsprechende Element aus ), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert zuordnet. Dann heißt die - Differentialform

die kanonische Volumenform auf .



Definition:Äußere Ableitung von Differentialformen (lokaler Fall)

Es sei offen und es sei eine stetig differenzierbare - Differentialform mit der Darstellung

mit stetig differenzierbaren Funktionen

Dann nennt man die -Form

die äußere Ableitung von .



Definition:Äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann definiert man zu einer differenzierbaren Differentialform die äußere Ableitung unter Bezugnahme auf den lokalen Fall und Karten

( und offen) durch



Definition:Geschlossene Differentialform

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform auf heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.



Definition:Exakte Differentialform

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine - Differentialform auf heißt exakt, wenn es eine differenzierbare -Differentialform auf mit gibt.



Definition:Euklidischer Halbraum

Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension versteht man die Menge

mit der induzierten Topologie.



Definition:Stetig differenzierbare Abbildung (Halbraum)

Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum , sei ein Punkt und es sei

eine Abbildung. Dann heißt stetig differenzierbar in , wenn es eine offene Umgebung und eine stetig differenzierbare Funktion

mit gibt.



Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand

Es seien und . Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Karten

wobei die offene Mengen im euklidischen Halbraum der Dimension sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

-Diffeomorphismen sind, heißt -Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad ), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten , , nennt man auch den -Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.



Definition:Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit

Es sei eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von , geschrieben , durch

definiert, wobei Karten sind.



Definition:Offenes Innere

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Dann heißt

das offene Innere (oder Innere) von .



Definition:Topologischer Abschluss

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Dann heißt

der Abschluss (oder topologische Abschluss) von .



Definition:Träger einer Funktion

Es sei ein topologischer Raum und

eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss

der Träger von .



Definition:Kompakte Ausschöpfung

Es sei ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung , , von ist eine Folge von kompakten Teilmengen mit



Definition:Einer Überdeckung untergeordnete Partition der Eins

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes . Eine Partition der Eins

mit heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes eine offene Menge aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von in liegt.