Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Diciembre.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!} }
\bildlizenz { Diciembre.jpg } {} {Lumentzaspi} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x- \lfloor x \rfloor , \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ gerade}, \\ \lfloor x \rfloor -x + 1, \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ ungerade}, \end{cases}} { }
definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf
\definitionsverweis {Stetigkeit}{}{,}
\definitionsverweis {Differenzierbarkeit}{}{}
und
\definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = 4x^3+3x^2-x+2
} {.}
Finde die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ [-3,3]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen
\mathkor {} {-3} {und} {3} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und es gelte
\mathdisp {f(a) = g(a) \text{ und } f'(x) = g'(x) \text { für alle } x} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) = g(x) \text { für alle } x \text{ gilt}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Es sei $a \in \R$. Es gelte
\mathdisp {f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung $f'$ einen Schnittpunkt mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten Geraden besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(q) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {I} {\R
} {}
eine auf einem offenen Intervall definierte
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Funktion und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(a)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es offene Intervalle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J'
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion
\maabb {f} {J} {J'
} {}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {reelle Polynomfunktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d \geq 1$ maximal
\mathl{d-1}{}
\definitionsverweis {lokale Extrema}{}{}
besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{}
oder
\definitionsverweis {streng fallend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime }(a)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so besitzt $f$ in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Minimum}{}{.}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{ \prime \prime}(a)
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so besitzt $f$ in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Maximum}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-2,5]} {\R } {x} { f ( x ) = 2x^3-5x^2+4x-1 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Stadt
\mathl{S=(0,0)}{} soll mit den beiden Städten
\mathl{T=(a,b)}{} und
\mathl{U=(a,-b)}{} mit
\mathl{a \geq 0, b>0}{} durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der $x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche $1000 m^2$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 2x-3 }{ 5x^2-3x+4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabb {f} { \R} { \R } {} eine $n$-fach \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion mit der Eigenschaft, dass die $n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass $f$ maximal $n$ Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe die Details im Beweis zu Satz 19.8 aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus dem zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(I,\R)
}
{ =} { { \left\{ f:I \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{.}
Zeige, dass $D(I,\R)$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist und dass die Ableitung
\maabbeledisp {} {D(I,\R)} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , \R \right) }
} {f} {f'
} {,}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
ist. Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Abbildung und seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}} { }
mittels
\definitionsverweis {Polynomdivision}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 19.10} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^3-2x^2+x+4}{ x^2+x }} { }
im Punkt $-1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ \sqrt{1-x} }{ \sqrt[3] {1-x^2} } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}
\inputaufgabe
{}
{
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
\mathdisp {1,\,11,\, 21,\, 1211,\, 111221,\, 312211,\, ...} { }
zugrunde?
}
{} {(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-4,4]} {\R } {x} { f ( x ) = 3x^3-7x^2+6x-3 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 3x^2-2x+1 }{ x-4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} vom Grad $d \geq 1$. Es sei $m$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Maxima}{}{} von $f$ und $n$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Minima}{}{} von $f$. Zeige, dass bei $d$ ungerade $m= n$ und bei $d$ gerade $\betrag { m-n }=1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass eine nichtkonstante
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { { \frac{ ax+b }{ cx+d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
keine
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^4+2x^3-3x^2+5x-5}{ 2x^3-x^2-4x+3 }} { }
im Punkt $1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\N} {\N } {,} die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 19.24 entspricht \zusatzklammer {die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen} {} {.} \aufzaehlungvier{Ist $f$ wachsend? }{Ist $f$ surjektiv? }{Ist $f$ injektiv? }{Besitzt $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{?} }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe}
\inputaufgabe
{10}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\N} {\N
} {,}
die dem Bildungsgesetz aus
Aufgabe 19.24
entspricht. Unter einem
\betonung{Zykel}{} von
\mathl{f}{} der Länge $n$ verstehen wir ein
\mathl{x \in \N}{} derart, dass
\mathl{f^n(x) =x}{} (
\mathl{f^n}{} bezeichnet die
\mathl{n}{-}te Hintereinanderschaltung von
\mathl{f}{} mit sich selbst) und
\mathl{f^{i}(x) \neq x}{} ist für
\mathl{i=1,2 , \ldots , n-1}{.} Besitzt $f$ Zykel der Länge
\mathl{n \geq 2}{?}
}
{(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)} {}