Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor ,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ gerade}},\\\lfloor x\rfloor -x+1,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ ungerade}},\end{cases}}$

definiert ist. Untersuche ${}f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+2.$

Finde die Punkte ${}a\in [-3,3]$ derart, dass die Steigung der Funktion in ${}a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen ${}-3$ und ${}3$ ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt und es gelte

$f(a)=g(a){\text{ und }}f'(x)=g'(x){\text{ für alle }}x.$

Zeige, dass

$f(x)=g(x){\text{ für alle }}x{\text{ gilt}}.$

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Es gelte

$f(a)\geq g(a){\text{ und }}f'(x)\geq g'(x){\text{ für alle }}x\geq a.$

Zeige, dass

$f(x)\geq g(x){\text{ für alle }}x\geq a{\text{ gilt}}.$

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte ${}P\neq Q$ besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung ${}f'$ einen Schnittpunkt mit der durch ${}y=1$ definierten Geraden besitzt.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=x^{3}+x-1\,.$

a) Zeige, dass die Funktion ${}f$ im reellen Intervall ${}[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl ${}q\in [0,1]$ derart an, dass ${}\vert {f(q)}\vert \leq {\frac {1}{10}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine auf einem offenen Intervall definierte stetig differenzierbare Funktion und sei ${}a\in I$ ein Punkt mit ${}f'(a)\neq 0$. Zeige, dass es offene Intervalle ${}J\subseteq I$ mit ${}a\in J$ und ${}J'\subseteq \mathbb {R}$ derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion ${}f\colon J\rightarrow J'$ bijektiv ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe *

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte ${}f'(a)=0$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)>0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
2. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)<0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.$

Aufgabe

Die Stadt ${}S=(0,0)$ soll mit den beiden Städten ${}T=(a,b)$ und ${}U=(a,-b)$ mit ${}a\geq 0,b>0$ durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der ${}x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.

Aufgabe

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche ${}1000m^{2}$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {2x-3}{5x^{2}-3x+4}},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine ${}n$-fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die ${}n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass ${}f$ maximal ${}n$ Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Satz 19.8 aus.

Aufgabe

Begründe den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus dem zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei

${}D(I,\mathbb {R} )={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ${}D(I,\mathbb {R} )$ ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

$D(I,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f',$

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}$

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 19.10).

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x^{3}-2x^{2}+x+4}{x^{2}+x}}$

im Punkt ${}-1$.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

${\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}$

im Punkt ${}1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\sqrt {1-x}}{\sqrt[{3}]{1-x^{2}}}}.$

Aufgabe *

Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [-4,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=3x^{3}-7x^{2}+6x-3.$

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {3x^{2}-2x+1}{x-4}},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion vom Grad ${}d\geq 1$. Es sei ${}m$ die Anzahl der lokalen Maxima von ${}f$ und ${}n$ die Anzahl der lokalen Minima von ${}f$. Zeige, dass bei ${}d$ ungerade ${}m=n$ und bei ${}d$ gerade ${}\vert {m-n}\vert =1$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

${}f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}\,$

(mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$, ${}c\neq 0$), keine lokalen Extrema besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x^{4}+2x^{3}-3x^{2}+5x-5}{2x^{3}-x^{2}-4x+3}}$

im Punkt ${}1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 19.24 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist ${}f$ wachsend?
2. Ist ${}f$ surjektiv?
3. Ist ${}f$ injektiv?
4. Besitzt ${}f$ einen Fixpunkt?

Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 19.24 entspricht. Unter einem Zykel von ${}f$ der Länge ${}n$ verstehen wir ein ${}x\in \mathbb {N}$ derart, dass ${}f^{n}(x)=x$ (${}f^{n}$ bezeichnet die ${}n$-te Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst) und ${}f^{i}(x)\neq x$ ist für ${}i=1,2,\ldots ,n-1$. Besitzt ${}f$ Zykel der Länge ${}n\geq 2$?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)