Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ mit ${}a,b\in I$ die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft.

Aufgabe

Zeige, dass eine affin-lineare Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax+b,$

sowohl konvex als auch konkav ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Betrag

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

konvex ist.

Aufgabe

Die Funktion

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

beschreibe eine zeitabhängige eindimensionale Bewegung. Bringe die Konzepte Bewegungsverlauf, Geschwindigkeitsverlauf, Beschleunigungsverlauf mit den Konzepten konvexe Funktion und Wendepunkt in Verbindung.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

konvex ist.

Aufgabe *

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

${}f(x)=x^{4}+3x^{3}+x^{2}+x+1\,.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn ${}-f$ konkav ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad ${}\geq 3$. Zeige, dass ${}f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe

Partnerarbeit: Finde die Wendepunkte auf der Nase des Partners. Für Fortgeschrittene: Finde die Wendepunkte auf dem Rücken des Partners.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto f(x)$, ein Polynom vom Grad ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}f$ höchstens ${}n-2$ Wendepunkte besitzt.

Aufgabe

Definiere die Begriffe streng konvex, streng konkav und strenger Wendepunkt .

Aufgabe

Es sei ${}a<b<c$ und seien ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}h\colon [b,c]\rightarrow \mathbb {R}$ stetige Funktionen mit ${}g(b)\neq h(b)$. Es sei

${}f(x)={\begin{cases}g(x){\text{ für }}x\leq b\,,\\h(x){\text{ für }}x>b\,.\end{cases}}\,$

Zeige, dass ${}f$ nicht konvex ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die in ${}a$ und in ${}b$ isolierte lokale Minima besitzt. Zeige, dass ${}f$ nicht konvex ist.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe differenzierbare Funktion. Zeige, dass in jedem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ die Tangente an den Graphen in ${}(a,f(a))$ mit dem Graphen oberhalb eines (eventuell einpunktigen) Intervalles übereinstimmt.

Aufgabe *

Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und

$f\colon I\longrightarrow J$

eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

konkav ist.

Aufgabe

Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und

$f\colon I\longrightarrow J$

eine bijektive fallende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ebenfalls konvex ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe ${}f+g$ ebenfalls konvex ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz ${}f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt ${}fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Formuliere und beweise die konkave Version der Jensenschen Abschätzung.

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und ${}x\in I$ ein Punkt mit

${}f^{\prime \prime }(x)=0\,$

und

${}f^{\prime \prime \prime }(x)\neq 0\,.$

Zeige, dass ${}x$ ein Wendepunkt von ${}f$ ist.

Aufgabe *

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\,$

gilt.

Aufgabe *

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen ${}t_{1},\ldots ,t_{n}>0$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

und Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}x_{1}^{t_{1}}\cdot x_{2}^{t_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{t_{n}}\leq t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}p,q$ positive reelle Zahlen mit

${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

und es seien ${}A,B\geq 0$. Zeige mit Aufgabe 20.24 die Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ ebenfalls ${}R$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}\cdot \exp \left(z^{3}-4z\right).$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.$

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von ${}f$ gleich

${}f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,$

ist.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{2}e^{-t}.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.$

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe *

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe *

Wir betrachten die durch

$x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$

definierte Folge ($n\geq 1$). Zeige folgende Aussagen.

1. Für ${}n\geq 3$ ist die Folge monoton fallend.
2. Die Folge konvergiert gegen $1$.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}.$

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln(x+1)}{\sin \left(2x\right)}}.$

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\cos(x)-1}{x}}\,.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

$f'=f{\text{ und }}f(0)=1.$

Zeige, dass ${}f(x)=\exp x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}$

zu einem Punkt ${}x\in I$.

1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

   ${}f(x)=a^{x}\,$

   mit einem ${}a\in \mathbb {R} _{+}$.

2. Es sei ${}f$ in ${}x\in I$ differenzierbar. Zeige

   ${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,$

3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).

Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von ${}e^{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10  (4).

Aufgabe

Bestimme die ${}1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).$

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)(\cos z).$

Aufgabe

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)^{n}.$

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$.

Aufgabe *

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis ${}a>0$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$,
2. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$,
3. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$,
4. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}x\rightarrow 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
2. ${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$,
3. ${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {(x-1)^{\alpha }}{\ln x}}$

in Abhängigkeit von ${}\alpha \in \mathbb {R} _{+}$.

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

$\sinh z:={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

${}\cosh z={\frac {1}{2}}{\left(e^{z}+e^{-z}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist ${}z\in {\mathbb {C} }$.)

1. $\cosh z+\sinh z=e^{z}.$

2. $\cosh z-\sinh z=e^{-z}.$

3. $(\cosh z)^{2}-(\sinh z)^{2}=1.$

4. $\cosh {\mathrm {i} }z=\cos z{\text{ und }}\sinh {\mathrm {i} }z={\mathrm {i} }\cdot \sin z.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

${}\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,.$

b)

${}\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf ${}\mathbb {R}$ streng wachsend ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf ${}\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ streng wachsend ist.

Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man Areasinus hyperbolicus bzw. Areakosinus hyperbolicus nennt.

Aufgabe *

Zeige, dass für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x\geq 1$, die Gleichheit

${}\,\operatorname {arcosh} \,x\,=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$

nach unten beschränkt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$. Zeige die Jensensche Ungleichung

${}f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

${}f(x)=2x^{4}-x^{3}-3x^{2}+7x+5\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass ${}f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right).$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{x}.$