Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Der Zwischenwertsatz}
Wir interessieren uns dafür, was unter einer stetigen Abbildung
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
mit einem Intervall passiert. Der Zwischenwertsatz besagt, dass das Bild wieder ein Intervall ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Intermediatevaluetheorem.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Intermediatevaluetheorem.svg } {Enoch Lau} {Kpengboy} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \leq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beschränken uns auf die Situation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq }{u
}
{ \leq }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
\mathkor {} {a_0 \defeq a} {und} {b_0 \defeq b} {,}
betrachtet die Intervallmitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ \defeq }{ { \frac{ a_0 + b_0 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet
\mathdisp {f(c_0)} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq c_0 \text{ und } b_1 \defeq b_0} { }
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq a_0 \text{ und } b_1 \defeq c_0} { . }
In jedem Fall hat das neue Intervall
\mathl{[a_1,b_1]}{} die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_1 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ \leq }{ f { \left( b_1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{.}
Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Satz 7.3
definierte
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_n \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( b_n \right) }
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die in diesem Beweis beschriebene Methode ist konstruktiv und kann zu einem expliziten Verfahren ausgebaut werden.
\inputfaktbeweis
{Reelle Analysis/Nullstellensatz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \leq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mathkor {} {f(a) \leq 0} {und} {f(b) \geq 0} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}}
\faktzusatz {d.h. $f$ besitzt eine Nullstelle zwischen
\mathkor {} {a} {und} {b} {.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 13.1.
\inputbeispiel{}
{
Ein regelmäßiger quadratischer Tisch mit vier Beinen
\mathl{A,B,C,D}{} steht auf einem unebenen, aber stufenfreien Untergrund. Im Moment steht er auf den Beinen
\mathl{A,B,C}{} und das Bein $D$ ragt in die Höhe
\zusatzklammer {wenn man $B,C$ in ihrer Position belässt und $D$ auf den Boden drückt, würde $A$ versinken} {} {.}
Wir behaupten, dass man den Tisch durch eine
\zusatzklammer {maximal Viertel} {} {-}Drehung um die eigene Achse
\zusatzklammer {sagen wir gegen den Uhrzeigersinn} {} {}
in eine Position bringen kann, wo er auf allen vier Beinen steht
\zusatzklammer {wobei der Tisch nicht unbedingt genau horizontal stehen muss} {} {.}
Dazu betrachten wir die Funktion, die einem Drehwinkel
\zusatzklammer {zwischen
\mathkork {} {0} {und} {90} {}
Grad} {} {}
die Höhe des Beines $D$ über dem Grund zuordnet, wenn die drei übrigen Beine auf dem Boden stehen
\zusatzklammer {würden} {} {.}
Dabei kann diese Höhe auch negativ werden
\zusatzklammer {was sich bei einem sandigen Untergrund praktisch realisieren lässt; sonst denke man sich dies \anfuehrung{virtuell}{}} {} {.}
Bei $0$ Grad ist die Höhe positiv. Bei
\mathl{90}{} Grad erhält man eine Situation, die symmetrisch zur Ausgangssposition ist, wobei aber nach wie vor die Beine
\mathl{A,B,C}{} auf dem Boden sein sollen. Wegen der in der Klammer formulierten Beobachtung muss die Höhe von $D$ negativ sein. Die Funktion hat also auf dem Intervall
\mathl{[0 , 90]}{} sowohl positive als auch negative Werte. Da sie wegen der Stufenfreiheit stetig ist, besitzt sie
nach dem Zwischenwertsatz
auch eine Nullstelle.
}
\inputbeispiel{}
{
Die Abbildung
\maabbeledisp {f} {\Q} {\Q
} {x} {x^2-2
} {,}
ist
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
sie genügt aber nicht dem
Zwischenwertsatz.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ -2
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(2)
}
{ = }{ 2
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es gibt aber kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da dafür
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss, wofür es in $\Q$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.
}
Mit der im Beweis des Zwischenwertsatzes verwendeten Intervallhalbierungsmethode kann man insbesondere auch Quadratwurzeln \anfuehrung{ausrechnen}{,} also Folgen angeben, die gegen die Quadratwurzel konvergieren. Die Konvergenzgeschwindigkeit beim babylonischen Wurzelziehen ist aber deutlich höher.
\inputfaktbeweis
{Zwischenwertsatz/Bild ist Intervall/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein reelles Intervall und
\maabb {f} {I} { \R
} {}
eine stetige Funktion.}
\faktfolgerung {Dann ist auch das Bild
\mathl{f(I)}{} ein Intervall.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ = }{f(I)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus dem
Zwischenwertsatz
folgt sofort, dass wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y,z
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \leq }{u
}
{ \leq }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist, auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss. Nach
Aufgabe 6.23
ist $J$ ein Intervall.
\zwischenueberschrift{Stetige bijektive Funktionen und ihre Umkehrfunktion}
Für eine bijektive stetige Funktion auf einem reellen Intervall ist die Umkehrabbildung wieder stetig. Dies ist keineswegs selbstverständlich.
\inputfaktbeweis
{Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige}{}{,}
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J
}
{ \defeq} { f(I)
}
{ =} { { \left\{ f(x) \mid x \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein Intervall, und die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabbdisp {f^{-1}} {J} {I
} {}
ist ebenfalls stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus
Korollar 13.5.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Funktion $f$ ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung
\maabbdisp {f} {I} {J
} {}
auf das Bild
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {J} {I
} {}
ist ebenfalls streng wachsend.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \defeq }{ f^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \defeq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben.
\fallunterscheidungzwei {Es sei zunächst $y$ kein
\definitionsverweis {Randpunkt}{}{}
von $J$. Dann ist auch $x$ kein Randpunkt von $I$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben und ohne Einschränkung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x+ \epsilon]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \defeq} { {\min { \left( y-f(x- \epsilon) , f(x + \epsilon)-y \right) } }
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ \in }{[ y- \delta, y + \delta ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt wegen der Monotonie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(y')
}
{ \in} { [g(y-\delta), g(y+ \delta)]
}
{ \subseteq} { [x- \epsilon, x+ \epsilon]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist $g$ stetig in $y$.}
{Wenn $y$ ein Randpunkt von $J$ ist, so ist auch $x$ ein Randpunkt von $I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \defeq }{ y-f(x- \epsilon)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt die geforderte Eigenschaft.}
}
{}
\zwischenueberschrift{Stetigkeit der Wurzeln}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RacineNieme.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { RacineNieme.svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Für $n$ ungerade ist}
\faktfolgerung {die Potenzfunktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
und die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { x^{1/n}
} {,}
ist streng wachsend und stetig.}
\faktzusatz {Für $n$ gerade ist die Potenzfunktion
\maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0}
} {x} {x^n
} {,}
stetig, streng wachsend, bijektiv und die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {x} { x^{1/n}
} {,}
ist streng wachsend und stetig.}
\faktzusatz {}
}
{
Die Stetigkeit ergibt sich aus
Korollar 12.8.
Das strenge Wachstum für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt aus der
allgemeinen binomischen Formel.
Für ungerades $n$ folgt das strenge Wachstum für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus der Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{ - (-x)^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem Verhalten im positiven Bereich. Daraus ergibt sich die Injektivität. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ \geq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei $n$ ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des
Zwischenwertsatzes
ist das Bild daher
\mathkor {} {\R} {bzw.} {\R_{\geq 0}} {.}
Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus
Satz 13.6.
\zwischenueberschrift{Minima und Maxima}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Extrema_example_it.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Extrema example it.svg } {} {KSmrq} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Maximum}{} annimmt, wenn
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text { für alle } x' \in M \text{ gilt}} { , }
und dass $f$ das \definitionswort {Minimum}{} annimmt, wenn
\mathdisp {f(x) \leq f(x') \text { für alle } x' \in M \text{ gilt}} { . }
}
Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist \stichwort {Extremum} {.} In der vorstehenden Definition spricht man auch vom \stichwort {globalen Maximum} {,} da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des \stichwort {lokalen Maximums} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {lokales Maximum}{} besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \geq} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Man sagt, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {lokales Minimum}{} besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \leq} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ > }{f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \neq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw. für alle
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x'
}
{ \neq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus einer offenen Umgebung von $x$} {} {}
gilt, so spricht man von einem \stichwort {isolierten Maximum} {}
\zusatzklammer {bzw. von einem \stichwort {isolierten lokalen Maximum} {}} {} {.}
Mit der Differentialrechnung werden wir bald schlagkräftige Methoden kennenlernen, um die Stellen für Minima und Maxima zu bestimmen.
\inputfaktbeweis
{Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein abgeschlossenes beschränktes
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text{ für alle } x' \in [a,b]} { . }
}
\faktzusatz {D.h., dass die Funktion ihr Maximum
\zusatzklammer {und ihr Minimum} {} {}
annimmt.}
\faktzusatz {}
}
{
Nach dem Zwischenwertsatz
wissen wir, dass das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \defeq }{ f([a,b])
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall ist.
\teilbeweis {Wir zeigen zunächst, dass $J$
\zusatzklammer {nach oben und nach unten} {} {}
beschränkt ist.\leerzeichen{}}{}{}
{ Wir nehmen dazu an, dass $J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $I$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_n)
}
{ \geq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Satz 7.7
besitzt
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Teilfolge. Da
\mathl{[a,b]}{} abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu
\mathl{[a,b]}{.} Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie
nach Lemma 5.10
nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $y$ das Supremum von $J$, das es nach
Satz 7.5
gibt. Es gibt nach
Aufgabe 6.21
eine Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} in $J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von $J$ gibt es eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_n)
}
{ = }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Folge gibt es
wieder nach Satz 7.7
eine konvergente Teilfolge. Es sei $x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\inputfaktbeweis
{Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Bild ebenso/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein abgeschlossenes beschränktes
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das Bild
\mathl{f([a,b])}{} ebenfalls ein beschränktes abgeschlossenes Intervall.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz und Satz 13.10.
Ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall nennt man auch \stichwort {kompakt} {.}