Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 50/latex
\setcounter{section}{50}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die Addition \maabbeledisp {+} {\R^2} { \R } {(x,y)} {x+y } {,} und die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { \R^2 } { \R } {(x,y)} {x \cdot y } {,} auf \definitionsverweis {kritische Punkte}{}{} und auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^2 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^4 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {2x^2+3y^2+5xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {2x^2+3y^2+4xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {4x^2-xy+5y^2 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {3x^2-2xy-y^2+5x } {,} und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {f} {\R \times \R_+ \times \R} {\R
} {(x,y,z)} { { \frac{ xz }{ x^2+y^2 } }
} {,}
\zusatzklammer {es ist also
\mathl{y >0}{}} {} {.}
a) Berechne die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} von $f$ und stelle den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} zu $f$ auf.
b) Bestimme die \definitionsverweis {isolierten}{}{} \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {-3x^2+2xy-7y^2+x } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man untersuche die Funktion
\maabbeledisp {} {\R_+ \times \R} {\R
} {(x,y)} { x^y
} {,}
auf Extrema
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 50.4} {} {,}
indem man die Funktion als Hintereinanderschaltung
\mathdisp {\R_+ \times \R \longrightarrow \R \times \R \longrightarrow \R \longrightarrow \R} { }
mit
\mathl{(x,y) \mapsto ( \ln x,y)}{,}
\mathl{(u,v) \mapsto (uv)}{,}
\mathl{z \mapsto e^z}{}
auffasst und
Aufgabe 46.19
und
Aufgabe 46.20
heranzieht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} { \R
} { \left( x , \, y , \, z \right) } { xyz
} {.}
\aufzaehlungfuenf{Bestimme die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ in einem Punkt
\mathl{\left( x , \, y , \, z \right)}{.}
}{Bestimme die
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{}
von $\varphi$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ in einem Punkt
\mathl{\left( x , \, y , \, z \right)}{.}
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
der Hesse-Matrix zu $\varphi$ im Punkt
\mathl{\left( 1 , \, 1 , \, 1 \right)}{.}
}{Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der Hesse-Form zu $\varphi$ im Punkt
\mathl{\left( 1 , \, 1 , \, 1 \right)}{} mit Hilfe
des Eigenwertkriteriums.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
für
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
als Funktion
\maabbeledisp {\det} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R) = \R^4 } { \R
} { \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} } { xw-zy
} {.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu
\mathl{\det}{} und die
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{.}
}{Untersuche
\mathl{\det}{} auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
im Nullpunkt.
}{Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {\operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
auf dem die
\zusatzklammer {Einschränkung der} {} {}
Determinante ein
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{}
besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mathl{P \in \R^n}{} ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{.}
Es sei
\mathl{v \in \R^n}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zur
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
in $P$ mit einem positiven
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{.}
Zeige, dass $f$ in $P$ kein
\definitionsverweis {lokales Maximum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x^3y } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+xy-6y^2-y } {,} auf \definitionsverweis {kritische Punkte}{}{} und \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(P)
}
{ =} {f(-P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{P \in \R^n}{.}
a) Zeige, dass $f$ in $0$ einen kritischen Punkt besitzt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in $0$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt.
c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in $0$ kein Extremum besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( 0,1 \right)
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten Funktion
\maabbeledisp {f} {B \left( 0,1 \right) } {\R
} {(x,y)} {x^2+y^3-y^2-y
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller39.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Waeller39.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion
\zusatzklammer {alles in Meter} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { 3000 - { \frac{ 1 }{ 1000 } } x^2-{ \frac{ 1 }{ 1000 } }y^2+{ \frac{ 1 }{ 100 } }x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben.
\aufzaehlungzwei {In welchem Punkt
\zusatzklammer {welchen Punkten} {} {}
besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
} {Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt
\mathl{(0,0)}{} konstant den Grundabstand $1000$ besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {D} {\R
} {(x,y)} {xy \sqrt{3- x^2-y^2}
} {,}
den maximalen Definitionsbereich
\mathl{D\subseteq \R^2}{} und untersuche die Funktion auf
\definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Wir betrachten das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{} $\int_a^b f(t) dt$ als Funktion in den beiden Grenzen, also die Abbildung \maabbeledisp {G} {\R^2} { \R } {(a,b)} { G(a,b) = \int_a^b f(t) dt } {.} \aufzaehlungvier{Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} von $G$. }{Erstelle die Hesse-Matrix zu $G$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $f$ stetig differenzierbar ist. }{Formuliere das Minorenkriterium für Extrema in der Situation von (2). }{Man erläutere diese Ergebnisse inhaltlich unter Bezug zur Bedeutung des bestimmten Integrals. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {t} {1-t^2
} {.}
Für welche
\mathbed {x,y \in [0,1]} {}
{x <y} {}
{} {} {} {,}
besitzt die zugehörige dreistufige
\zusatzklammer {maximale} {} {}
\definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{}
zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {[1,2]} { \R
} {t} {g(t) = { \frac{ 1 }{ t } }
} {.}
\aufzaehlungzwei {Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{y
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Abhängigkeit von
\mathkor {} {x} {und} {y} {.}
} {Bestimme das Punktepaar $(x,y)$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {,}
für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{y
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
}
{}{}{}
maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,} und
\mathl{P \in G}{.} Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f,g} {G} {\R
} {}
an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in $P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein
\definitionsverweis {Extremum}{}{} in $P$ besitzt, die andere nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{\dim_{ \! } { \left( V \right) } \geq 2}{,}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
und
\mathl{P \in G}{.} Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f,g} {G} {\R
} {}
an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in $P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
in $P$ besitzt, die andere nicht.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+9y^2+6xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{I = {] {- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.} Untersuche die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {I \times I } {\R
} {(x,y)} { { \frac{ \cos x }{ \cos y } }
} {,}
auf
\definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {t} {t^2
} {.}
Für welche
\mathbed {x,y \in {]0,1[}} {}
{x <y} {}
{} {} {} {,}
besitzt die zugehörige dreistufige
\zusatzklammer {maximale} {} {}
\definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{}
zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Sei
\maabbdisp {h} {\R_{\geq 0}} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{} und betrachte
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {h(x^2+y^2)
} {.}
Zeige, dass $f$ allenfalls im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Extremum}{}{} besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn $h$ in $0$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei
\mathl{P \in \R^2}{} ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung
\mathl{P \in U}{} derart, dass
\mathl{\varphi(Q) \neq \varphi(P)}{} ist für alle
\mathbed {Q\in U} {}
{Q \neq P} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass dann $\varphi$ in $P$ ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Extremum}{}{}
besitzt.
}
{} {}