Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 48/latex
\setcounter{section}{48}
\zwischenueberschrift{Die Hesse-Form}
Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen Fall muss man sich die zweiten Ableitungen anschauen, wobei die Situation natürlich dadurch wesentlich verkompliziert wird, dass es zu je zwei Richtungsvektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
eine zweite Richtungsableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_{vw}
}
{ = }{ D_v D_w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Die zweite Richtungsableitung wird dadurch handhabbar, dass man sie in die sogenannte Hesse-Form bzw. Hesse-Matrix zusammenfasst. Als solche ist sie eine symmetrische Bilinearform, die mit Methoden der linearen Algebra analysiert werden kann. Diese Methoden werden wir im Folgenden entwickeln und insbesondere auf die Hesse-Form anwenden, um schließlich hinreichende Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema zu erhalten.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\operatorname{Hess}_{ P } \, f} {V \times V } {\R
} {(u,v)} { D_u D_v f (P)
} {,}
die \definitionswort {Hesse-Form}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
von $V$ gegeben mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{}
\mathbed {D_i \defeq D_{v_i}} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt dann die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} D_1D_1 f (P) & \cdots & D_1D_{ n } f (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{ n } D_1 f (P) & \cdots & D_{ n }D_{ n } f (P) \end{pmatrix}} { }
die \definitionswort {Hesse-Matrix}{} zu $f$ im Punkt $P$ bezüglich der gegebenen Basis.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Die Bilinearform heißt \definitionswort {symmetrisch}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Hesse-Form/Symmetrische Bilinearform/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}}
\faktfolgerung {eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Symmetrie folgt aus dem
Satz von Schwarz.
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Vektoren und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {a_1v_1 +a_2v_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gelten unter Verwendung von
Satz 46.3,
Proposition 46.1
und
Lemma 43.6
die Gleichheiten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ D_u (D_vf (P))
}
{ =} {D_u ((Df)_P(v))
}
{ =} { D_u ((Df)_P(a_1v_1 +a_2v_2 ))
}
{ =} { D_u( a_1 (Df)_P(v_1 ) + a_2 (Df)_P(v_2 ) )
}
{ =} {a_1 D_u (D_{v_1}f (P)) + a_2 D_u (D_{v_2}f (P))
}
}
{}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Eigenschaften von Bilinearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Dann heißt die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\left\langle v_{ i } , v_{ j } \right\rangle _{ 1 \leq i , j \leq n }} { }
die \definitionswort {Gramsche Matrix}{} von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.
}
Die Hesse-Matrix ist beispielsweise die Gramsche Matrix der Hesse-Form bezüglich der Standardbasis im
\mathl{\R^n}{.}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und es seien
\mathkor {} {G} {bzw.} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basen.}
\faktvoraussetzung {Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ij} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir durch die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{i,j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdrücken.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { A^{ \text{tr} } } G A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle w_r , w_s \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n a_{ir} v_i , \sum_{k = 1}^n a_{ks} v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,k \leq n} a_{ir} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( \sum_{1 \leq k \leq n} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( G \circ A \right) }_{is}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( { A^{ \text{tr} } } \circ { \left( G \circ A \right) } \right) }_{rs}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Diese Bilinearform heißt
\aufzaehlungfuenf{\definitionswort {positiv definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {negativ definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {positiv semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {negativ semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {indefinit}{,} wenn
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
}
}
Positiv definite symmetrische Bilinearformen nennt man auch Skalarprodukte. Eine indefinite Form liegt vor, wenn es Vektoren \mathkor {} {v} {und} {w} {} mit \mathkor {} {\left\langle v , v \right\rangle > 0} {und} {\left\langle w , w \right\rangle < 0} {} gibt.
Eine Bilinearform auf $V$ kann man auf einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf $U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Man sagt, dass eine solche Bilinearform den \definitionswort {Typ}{}
\mathdisp {(p,q)} { }
besitzt, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ positiv definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ negativ definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mathl{p,q ,n}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p+q
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten auf dem $\R^n$ die
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{,} die durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left\langle \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\\vdots\\ y_n \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ \defeq} { x_1y_1 + \cdots + x_py_p - x_{p+1}y_{p+1} - \cdots - x_{p+q}y_{p+q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Sie hat den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{,} und zwar ist die Einschränkung auf den Unterraum
\mathl{\R e_1 + \cdots + \R e_p}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
und die Einschränkung auf den Unterraum
\mathl{\R e_{p+1} + \cdots + \R e_{p+q}}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{.}
}
Bei einem Skalarprodukt auf einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ
\mathl{(n,0)}{.} Wie für Skalarprodukte nennt man Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {orthogonal} {} bezüglich einer Bilinearform, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und ähnlich wie im Fall eines Skalarproduktes kann man zeigen, dass es Orthogonalbasen gibt.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {James_Joseph_Sylvester.jpg} }
\end{center}
\bildtext {James Joseph Sylvester (1814-1897)} }
\bildlizenz { James Joseph Sylvester.jpg } {nicht bekannt} {} {Commons} {PD} {Altes Photo}
Die folgende Aussage nennt man den \stichwort {Trägheitssatz von Sylvester} {.}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich einer jeden
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bezüglich einer
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$
\zusatzklammer {die es nach
Satz 38.15 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
gibt} {} {}
hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \langle u_1 , \ldots , u_{p'} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die eingeschränkte Bilinearform
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,}
sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p'
}
{ \leq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ = }{ \langle u_{p'+1} , \ldots , u_{n} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf diesem Unterraum ist die Bilinearform
\definitionsverweis {negativ semidefinit}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{U \oplus W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist
\mathl{n-p'}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W \cap U'
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Korollar 9.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Für einen Vektor
\mathbed {w \in W \cap U'} {}
{w \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ergibt sich aber direkt der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle w , w \right\rangle
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle w , w \right\rangle
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Minorenkriterien für symmetrische Bilinearformen\zusatzfussnote {Unter einem \stichwort {Minor} {} versteht man die Determinante einer quadratischen Untermatrix einer Matrix. Man könnte also genauso gut von einem Determinantenkriterium sprechen} {.} {}}
Es gibt mehrere Methoden, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen. Hier besprechen wir das \stichwort {Minorenkriterium} {.}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
$D_k$ der
\definitionsverweis {quadratischen}{}{}
\definitionsverweis {Untermatrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_k
}
{ =} { ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
seien für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
\mathdisp {D_0=1,\, D_1= \det M_1 ,\, D_2 = \det M_2 , \ldots , D_n = \det M_n = \det G} { . }
}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-a,a)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach
Aufgabe 48.4
die Bilinearform
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
und daher hat der Typ die Form
\mathl{(n-q,q)}{.} Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension
\mathl{n-1}{} bewiesen und es liege ein $n$-dimensionaler Raum mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_{n-1} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat die Dimension
\mathl{n-1}{} und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
zur eingeschränkten Form
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U}{} stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_n
}
{ =} { \det M_n
}
{ =} { \det G
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U}{} den Typ
\mathl{(n-1-b,b)}{,} wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
\mathdisp {D_0=1,\, D_1 , \ldots , D_{n-1}} { }
ist. Aufgrund der Definition des
\definitionsverweis {Typs}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \leq} {q
}
{ \leq} {b+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ein $q$-dimensionaler Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf dem die Bilinearform
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
ist, zu einem Untervektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W'
}
{ =} {U \cap W
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt, der die Dimension
\mathkor {} {q} {oder} {q-1} {}
besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach
Aufgabe 48.5
ist das Vorzeichen von
\mathl{D_{n-1}}{} gleich
\mathl{(-1)^b}{} und das Vorzeichen von
\mathl{D_n}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{.} Das bedeutet, dass zwischen
\mathkor {} {D_{n-1}} {und} {D_n} {}
ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel
\zusatzklammer {und somit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a
}
{ = }{b+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
genau dann vorliegt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {b+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis und es seien $D_k$ die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratischen}{}{}
\definitionsverweis {Untermatrizen}{}{}
\mathdisp {M_k = ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq k}, \, k=1 , \ldots , n} { . }
}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,}
wenn alle $D_k$ positiv sind.
} {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{,}
wenn das Vorzeichen in der Folge
\mathl{D_0=1,\, D_1, \, D_2 , \ldots , D_n}{} an jeder Stelle wechselt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). \teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Bilinearform
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist, so ist nach
Aufgabe 48.5
das Vorzeichen der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{ \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus
Satz 48.11, dass die Bilinearform positiv definit ist.}
{}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also
\mathl{- \left\langle - , - \right\rangle}{,} betrachtet.}
{}