Kurs:Analysis 3/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6	0	0	0	0	12

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Basis einer Topologie ${}{\mathcal {T}}$ auf ${}X$ .
Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung
$\varphi \colon M\longrightarrow N$

von einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$ .
Die Messbarkeit einer numerischen Funktion
$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},$

wobei ${}(M,{\mathcal {A}})$ einen Messraum bezeichnet.
Die Rotationsmenge (um die ${}x$ -Achse) zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ .
Die Tangentialabbildung
$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

zu einer differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ .
Das Wegintegral zu einer ${}1$ -Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Das Messbarkeitskriterium für eine Abbildung
$\varphi \colon (M,{\mathcal {A}})\longrightarrow (N,{\mathcal {B}})$

zwischen
Messräumen.
/Fakt/Name
/Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand und sei ${}P\in \partial M$ ein Randpunkt. Zeige, dass für einen Tangentialvektor ${}v\in T_{P}M$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

Es gibt einen stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [-\epsilon ,0]\rightarrow M$ mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}\gamma '(0)=v$ .
${}v$ wird bei jeder Karte mit einem negativen Halbraum unter der Tangentialabbildung auf den rechten Halbraum abgebildet.