Kurs:Analysis 3/16/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine stetige Abbildung
$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ .
Das Dirac-Maß zu einem Punkt ${}x\in M$ .
Der positive Teil einer Funktion
$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}M$ eine Menge bezeichnet.
Ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ .
Das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ .
Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ .

Eine Abbildung
$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.
Das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch
${}\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Maß heißt das im Punkt ${}x$ konzentrierte Dirac-Maß auf ${}M$ .
Die Funktion
${}f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}\,$

heißt der positive Teil von ${}f$ .
Ein Homöomorphismus
$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt ein Diffeomorphismus, wenn sowohl ${}\varphi$ als auch ${}\varphi ^{-1}$ ${}C^{1}$ - Abbildungen sind.
Man nennt die Menge
${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$

das Tangentialbündel von ${}M$ .
Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist für ${}P\in L$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch
${}(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$

definiert.