Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Die Picardgruppe}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} nennt man die Menge der Isomorphieklassen von
\definitionsverweis {invertierbaren Garben}{}{}
auf $X$ mit der
\definitionsverweis {Tensorierung}{}{}
als Verknüpfung, der
\definitionsverweis {dualen Garbe}{}{}
als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die
\definitionswort {Picardgruppe}{}
von $X$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{Pic} { \left( X \right) }}{} bezeichnet.
}
Die folgende Überlegung zu den Verklebungsdaten einer invertierbaren Garbe knüpft einerseits an Aufgabe 2.19 an und weist andererseits auf die \definitionsverweis {Čech-Kohomologie}{}{} voraus.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$. Dies bedeutet, dass es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Trivialisierungen
\maabbdisp {\varphi_i} { { \mathcal L } {{|}}_{U_i} } { {\mathcal O}_{ X }{{|}}_{U_i}
} {}
gibt. Für offene Mengen
\mathl{U_i,U_j}{} ergeben sich auf
\mathl{U_i \cap U_j}{} die Übergangsabbildungen
\maabbdisp {\varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j}} { {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i \cap U_j} } { {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i \cap U_j}
} {.}
Diese Isomorphien sind
\zusatzklammer {vergleiche
Aufgabe 13.8} {} {}
durch
\zusatzklammer {Multiplikation mit} {} {}
Einheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i \cap U_j, {\mathcal O}_{ X }^\times \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${ \mathcal L }$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{kj} \cdot r_{ji}
}
{ = }{r_{ki}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
was man auch als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{kj} \cdot r_{ki}^{-1} \cdot r_{ji}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann. Ein solcher Datensatz legt durch eine Verklebung wiederum eine invertierbare Garbe fest. Wenn die invertierbare Garbe trivial ist, so gibt es einen globalen
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabb {\psi} { {\mathcal O}_{ X } } { { \mathcal L }
} {.}
Dann liegen auf den $U_i$ die Isomorphismen
\mathdisp {{\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i} \stackrel{\psi {{|}}_{U_i} }{\longrightarrow} { \mathcal L } {{|}}_{U_i} \stackrel{\varphi_i}{\longrightarrow} {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i}} { }
vor, die insgesamt durch Einheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i, {\mathcal O}_{ X }^\times \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_i \cdot s_j^ {-1}
}
{ =} { { \left( \varphi_i \circ \psi \right) } \circ { \left( \varphi_j \circ \psi \right) }^{-1}
}
{ =} { r_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten $s_i$ gegeben sind, so werden durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi {{|}}_{U_i}
}
{ \defeq} { \varphi_i^{-1} \circ s_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Modulisomorphismen auf $U_i$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen
\mathkor {} {{\mathcal O}_{ X }} {und} {{ \mathcal L }} {}
festlegen. Eine invertierbare Garbe kann man also mit dem Datensatz
\mathl{(U_i, r_{ij})}{}
\zusatzklammer {mit den obigen Bedingungen, man spricht von einem \stichwort {Kozykel} {}} {} {}
identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten $s_i$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ =} { s_i \cdot s_j^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputbemerkung
{}
{
Die Identifizierung aus Bemerkung 20.2 zwischen \definitionsverweis {invertierbaren Garben}{}{} und Kozykeln in der \definitionsverweis {Einheitengarbe}{}{} ist insofern nicht kanonisch, da man hier ein Vorzeichenproblem hat. Dies hängt damit zusammen, ob man die lokalen Trivialisierungen der invertierbaren Garben mit der Strukturgarbe als \maabb {\varphi_i} { { \mathcal L } {{|}}_{U_i} } { {\mathcal O}_{ X }{{|}}_{U_i} } {} ansetzt oder in umgekehrter Richtung und wie man die Indexmenge ordnet.
}
\inputbemerkung
{}
{
Die Tensorierung von
\definitionsverweis {invertierbaren Garben}{}{}
\mathkor {} {{ \mathcal L }} {und} {{ \mathcal L }'} {}
lässt sich auf der Ebene der zugehörigen Datensätze aus
Bemerkung 20.2
durchführen. Dazu geht man zu einer gemeinsamen Verfeinerungsüberdeckung über und kann annehmen, dass beide Garben Trivialisierungen bezüglich einer Überdeckung
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
besitzen. Dann beschreibt der Datensatz
\mathl{r_{ij} \cdot r_{ij}'}{} das Tensorprodukt.
}
Wir beschränken uns im Weiteren auf Schemata.
{Lokaler Ring/Picardgruppe/Trivial/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Für einen
\definitionsverweis {lokalen Ring}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {ist die
\definitionsverweis {Picardgruppe}{}{}
von
\mathl{\operatorname{Spec} { \left( R \right) }}{} trivial.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Integres Schema/Invertierbar/Einbettung in Funktionenkörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {integres Schema}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jede
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu einem
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
der konstanten
\definitionsverweis {Funktionenkörpergarbe}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $K$ der
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
von $X$ und ${ \mathcal K }$ die zugehörige Garbe. Für eine invertierbare Garbe ${ \mathcal L }$ ist der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
im
\definitionsverweis {generischen Punkt}{}{}
$\eta$ ein eindimensionaler
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Wir fixieren einen
$K$-\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal L }_\eta
}
{ = }{ { \mathcal K }_\eta
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine natürliche Abbildung
\mathdisp {\Gamma { \left( U, { \mathcal L } \right) } \longrightarrow { \mathcal L }_\eta \longrightarrow K} { . }
Diese sind injektiv
\zusatzklammer {vergleiche den Beweis zu
Lemma 11.16} {} {}
und definieren einen Untermodul von ${ \mathcal K }$.
\inputbemerkung
{}
{
Ein invertierbarer Untermodul ${ \mathcal L }$ der konstanten Funktionenkörpergarbe ist gegeben durch eine offene Überdeckung
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $X$ zusammen mit von $0$ verschiedenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_i
}
{ \in }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ q_i }{ q_j } }
}
{ \in }{ { \left( \Gamma { \left( U_i \cap U_j, {\mathcal O}_{ X } \right) } \right) }^\times
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen. Wenn man eine trivialisierende Überdeckung $U_i$ heranzieht, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal L } {{|}}_{U_i}
}
{ \cong} { q_i {\mathcal O}_{ U_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und aus den Übergangsabbildungen auf den Durchschnitten folgt, dass der Quotient
\mathl{q_i/q_j}{} eine Einheit sein muss. Wenn umgekehrt ein solcher Datensatz
\mathl{(U_i,q_i)}{} gegeben ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_i {\mathcal O}_{ U_i }
}
{ \subseteq} { { \mathcal Q }_{U_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine triviale Untergarbe, die auf $X$ eine invertierbare Untergarbe festlegt. Ein weiterer Gesichtspunkt ergibt sich aus der exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X }^\times \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal Q }^\times \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal Q }^\times/ {\mathcal O}_{ X }^\times \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Aufgrund von
Lemma 5.9
sind die beschriebenen Datensätze die globalen Schnitte aus der
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal Q }^\times/ {\mathcal O}_{ X }^\times}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Integres affines Schema/Invertierbar/Ideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jede
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu eine
\definitionsverweis {Idealgarbe}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 20.6
können wir direkt davon ausgehen, dass ein invertierbarer Untermodul
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des Quotientenkörpers
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt. Die Invertierbarkeit bedeutet nach
Satz 16.2,
dass es eine Familie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k
}
{ \in} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_{f_i}
}
{ \cong }{ R_{f_i} \cdot q_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_i
}
{ \in }{ K\setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Es sei $b$ ein Hauptnenner der $q_i$. Dann wird unter der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {} {K} {K
} {q} {qb
} {,}
die ein
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
von $K$ ist, der Untermodul $L$ auf einen dazu isomorphen Untermodul $L'$ abgebildet. Dieser ist in der gegebenen Überdeckung ein Untermodul der Strukturgarbe, also ein Ideal.
Es gibt im Allgemeinen viele Möglichkeiten, eine invertierbare Garbe als eine Untergarbe der Funktionenkörper zu realisieren, allein schon deshalb, weil man aus einer Realisierung durch Multiplikation mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine neue Realisierung erhält.
\inputbeispiel{}
{
Auf dem
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{d}_{K}}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ lässt sich eine
\definitionsverweis {getwistete Strukturgarbe}{}{}
${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{K} } (\ell)$ folgendermaßen in die Funktionenkörpergarbe ${ \mathcal Q }$ einbetten. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ \in} { K(X_0 , \ldots , X_n)_{- \ell }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein homogenes Element vom Grad $- \ell$. Auf jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{d}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} { \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{K} } (\ell) \right) } } { Q( {\mathbb P}^{d}_{K})
} {s} {s G
} {,}
eine Realisierung als Untermodul.
}
\inputfaktbeweis
{Integres Schema/Invertierbare Untergarben/Tensorierung und Produkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {integres Schema}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal L } , { \mathcal M }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal Q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbare}{}{}
\definitionsverweis {Untergarben}{}{}
der
\definitionsverweis {konstanten Garbe}{}{}
${ \mathcal Q }$ zum
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
$Q(X)$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal L } \otimes { \mathcal M }
}
{ \cong} { { \mathcal L } \cdot { \mathcal M }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{{ \mathcal L } \cdot { \mathcal M }}{} diejenige Untergarbe von ${ \mathcal Q }$ bezeichnet, die halmweise in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus allen Produkten $fg$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ { \mathcal L }_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ { \mathcal M }_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzeugt wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für den Quotientenkörper $Q$ eines Integritätsbereiches $R$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q \otimes_{ R } Q
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über die natürliche Multiplikation. Daher gilt in einem integren Schema die
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal Q } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } { \mathcal Q }
}
{ \cong} { { \mathcal Q }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gibt es einen natürlichen Homomorphismus
\maabbdisp {} {{ \mathcal L } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } { \mathcal M } } {{ \mathcal Q }
} {}
durch Multiplikation. Das es sich um invertierbare Garben handelt, liegt lokal und damit auch global ein Isomorphismus auf die Bildgarbe vor.
\zwischenueberschrift{Die Picardgruppe im faktoriellen Fall}
{Faktorieller Integritätsbereich/Exponent/Lokalisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f)R_{(p)}
}
{ = }{ (p^s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn $p$ mit dem Exponenten $s$ in der Primfaktorzerlegung von $f$ vorkommt.
} {Zwei
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
\mathkor {} {(f)} {und} {(g)} {}
stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement $p$ in der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R_{(p)}}{} die Ideale
\mathkor {} {(f)R_{(p)}} {und} {(g)R_{(p)}} {}
übereinstimmen.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.4. }
\inputfaktbeweis
{Integres affines Schema/Faktoriell/Picardgruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Picardgruppe}{}{}
eines
\definitionsverweis {faktoriellen Integritätsbereiches}{}{}}
\faktfolgerung {ist trivial.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Ideal, das invertierbar sei, und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \bigcup_{ i = 1}^n D(f_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung derart, dass
\mathl{IR_{f_i}}{} ein Hauptideal ist. Es ist insbesondere zu jedem Primelement $p$
das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_{(p)}
}
{ \subseteq }{R_{(p)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Hauptideal und damit von der Form
\mathl{p^{s_p}}{,} da
\mathl{R_{(p)}}{} ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist. Dabei sind die $s_p$ nur für endlich viele Primelemente von $0$ verschieden. Zu einem Element
\mathbed {g\in I} {}
{g \neq 0} {}
{} {} {} {.}
gibt es nämlich nur endlich viele Primteiler und für die anderen Primelemente $q$ ist $g$ eine Einheit in
\mathl{R_{(q)}}{.} Wir behaupten, dass $I$ mit dem von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{\prod_p p^{s_p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzeugten Hauptideal übereinstimmt. Da man die Gleichheit von Idealen lokal zu einer Überdeckung testen kann, können wir in
\mathl{R_{f_i}}{} argumentieren. Die Aussage folgt dann aus
Lemma 20.11.
\inputfaktbeweis
{Integres affines Schema/Noethersch/Faktoriell/Offene Teilmenge/Picardgruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Picardgruppe}{}{}
von $U$ trivial.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { D(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wir führen Induktion über $n$, wobei der Induktionsanfang nach
Satz 20.12
klar ist. Wir können also davon ausgehen, dass ${ \mathcal L }$ auf
\mathl{D(f_1 , \ldots , f_{n-1})}{} trivial ist. Wir ziehen
Bemerkung 20.2
heran, somit ist die invertierbare Garbe durch eine Einheit über
\mathl{D(f_1 , \ldots , f_{n-1}) \cap D(f_n)}{} festgelegt. Nach
Satz 9.8
ist die Strukturgarbe und damit auch die Garbe der Einheiten im faktoriellen Fall besonders einfach, ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann eine Einheit auf $U$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ D(h)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher sind Einheiten auf offenen Mengen generell von der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{ up_1^{r_1} \cdots p_s^{r_s}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Primelementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p_j
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$u$ einer Einheit aus $R$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_j
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei ist $h$ eine Einheit auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(f_1 , \ldots , f_{n-1}) \cap D(f_n)
}
{ =} { D(f_1f_n , \ldots , f_{n-1}f_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die beteiligten $p_j$
\zusatzklammer {also die mit einem Exponenten $r_j \neq 0$} {} {}
die
\mathl{f_if_n}{} teilen. Dies bedeutet, dass $p_j$ das Element $f_n$ oder aber alle Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n-1}}{} teilt. In jedem Fall kann man $h$ als ein Produkt von Einheiten über
\mathl{D(f_1 , \ldots , f_{n-1})}{} und Einheiten über
\mathl{D(f_n)}{} schreiben. Mit diesen Einheiten kann man die Garbe trivialisieren.
\inputfaktbeweis
{Integres Schema/Noethersch/Offene Teilmenge/Lokal faktoriell/Picardgruppe/Fortsetzung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {noethersches}{}{}
\definitionsverweis {integres Schema}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X \setminus U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
${\mathcal O}_{ X, P }$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann lässt sich jede
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
${ \mathcal L }$ auf $U$ zu einer invertierbaren Garbe auf $X$ fortsetzen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei ${ \mathcal L }$ eine invertierbare Garbe auf $U$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X \setminus U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene affine Umgebung von $P$, wobei $P$ dem Primideal ${\mathfrak p}$ entspreche. Nach Voraussetzung ist $R_{\mathfrak p}$ faktoriell. Wir betrachten die
\zusatzklammer {injektiven} {} {}
\definitionsverweis {Schemamorphismen}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Spek} { \left( R_{\mathfrak p} \right) } \longrightarrow W \longrightarrow X} { . }
Die offene Menge $U$ hat mit $W$ und mit $\operatorname{Spek} { \left( R_{\mathfrak p} \right) }$ einen nichtleeren Durchschnitt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R_{\mathfrak p} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da der generische Punkt von $X$ dem Nullideal von $R_{\mathfrak p}$ entspricht. Die zurückgezogene Garbe auf $V$ ist wegen
Lemma 20.13
trivial und rührt von einem $R_{\mathfrak p}$-Modul und auch von einem $R$-Modul $L$ her. Aufgrund der Trivialisierbarkeit gibt es einen
$R_{\mathfrak p}$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R_{\mathfrak p} } { L_{\mathfrak p}
} {.}
Dieses Isomorphismus kann man auf eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ D(f)
}
{ = }{W'
}
{ \subseteq }{W
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdehnen. Somit ist eine Ausdehnung von ${ \mathcal L }$ auf
\mathl{U \cap W'}{} gefunden. Daher können wir die offene Menge durch zunehmend größere offene Menge, auf der eine Ausdehnung existiert, ersetzen. Dieser Prozess endet wegen noethersch beim Gesamtraum.
Unter der vorstehenden Voraussetzung ist also der natürliche Einschränkungshomomorphismus
\maabbdisp {} { \operatorname{Pic} { \left( X \right) } } { \operatorname{Pic} { \left( U \right) }
} {}
surjektiv.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y,Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {D(X,Y)
}
{ =} {D(X) \cup D(Y)
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } \setminus \{ {\mathfrak m} \}
}
{ \subseteq} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_X
}
{ \cong} { K[X,X^{-1}, Z]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {vermöge
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Y
}
{ = }{ { \frac{ Z^n }{ X } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ein
\definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{}
und somit sind sämtliche
\definitionsverweis {invertierbaren Garben}{}{}
auf $D(X)$
\zusatzklammer {und entsprechend auf $D(Y)$} {} {}
nach Satz 20.12
trivial. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_{XY}
}
{ =} {R_{Z}
}
{ \cong} { K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine invertierbare Garbe auf $U$ ist somit durch einen Isomorphismus
\maabbdisp {} { K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}] \cong {\mathcal O}_{ U } {{|}}_{D(XY)} } { K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}] \cong {\mathcal O}_{ U } {{|}}_{D(XY) }
} {,}
gegeben, der wiederum einer Einheit aus
\mathl{K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}]}{} entspricht. Es sei
\mathl{cX^iZ^j}{} eine solche Einheit. Die Einheiten, die von
\mathkor {} {R_X} {oder} {R_Y} {}
herrühren und multiplikative Kombinationen daraus führen
Bemerkung 20.2
zu einer trivialen invertierbaren Garbe. Die Restklassengruppe besteht aus $Z^j$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{ 0,1 , \ldots , n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist die
\definitionsverweis {Picardgruppe}{}{}
von $U$ gleich
\mathl{\Z/(n)}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {projektive Gerade}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{K}}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit der Standardüberdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ =} { D_+(X) \cup D_+(Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den beiden affinen Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_+(X)
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[ { \frac{ Y }{ X } } ] \right) }
}
{ \cong }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_+(Y)
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[ { \frac{ X }{ Y } } ] \right) }
}
{ \cong }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
Satz 20.12
und
Bemerkung 20.2
können wir die
\definitionsverweis {Picardgruppe}{}{}
der projektiven Geraden berechnen, indem wir die Einheiten in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D_+(XY), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) }
}
{ =} { K[ { \frac{ X }{ Y } }, { \frac{ Y }{ X } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
modulo den Einheiten auf den beiden affinen Stücken betrachten. Dies ergibt die Gruppe
\mathbed {{ \left( { \frac{ X }{ Y } } \right) }^k} {}
{k \in \Z} {}
{} {} {} {,}
somit ist die Picardgruppe isomorph zu $\Z$.
}
Die vorstehende Aussage gilt allgemein für den projektiven Raum
\mathl{{\mathbb P}^{d}_{K}}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Satz 22.12.