Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Beringte Räume}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der mit einer \definitionsverweis {Garbe}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} versehen ist, heißt \definitionswort {beringter Raum}{.}
}
Ein beringter Raum wird oft in der Form
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} angegeben, wobei $X$ der zugrunde liegende Raum ist und ${\mathcal O}_{ X }$ die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die \stichwort {Strukturgarbe} {} des beringten Raumes. Die Auswertung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma(U, {\mathcal O}_{ X })
}
{ = }{ {\mathcal O}_{ X } (U)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man auch den \stichwort {Schnittring} {} zur offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Gamma(U, {\mathcal O}_{ X })}{} den \stichwort {globalen Schnittring} {.} Im Anschluss an
Beispiel 3.9
bzw.
Beispiel 3.10
haben wir die folgenden Standardbeispiele.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal C } { \left( U \right) }
}
{ =} { C^0 (U,\R)
}
{ =} { { \left\{ f:U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein kommutativer Ring und die Zuordnung
\mathl{U \mapsto { \mathcal C } { \left( U \right) }}{} ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{,}
wodurch $X$ zu einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
wird.
}
\inputbeispiel{}
{
Auf einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ ist zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1 (U,\R)
}
{ =} { { \left\{ f:U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{,}
wodurch $M$ zu einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
wird.
}
\inputbeispiel{}
{
Auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ ist zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1 (U,{\mathbb C} )
}
{ =} { { \left\{ f:U \rightarrow {\mathbb C} \mid f \text{ holomorph} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{,}
wodurch $M$ zu einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
wird.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{\{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein einpunktiger
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Dieser wird durch die Festlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ \defeq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma (\emptyset, {\mathcal O}_X )
}
{ \defeq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X , {\mathcal O}_{ X } )}{} nennt man den
\definitionsverweis {Halm}{}{}
der
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
den
\definitionswort {Halm}{}
im Punkt $P$.
}
Er wird mit
\mathl{{\mathcal O}_{ X, P }}{} oder kurz mit
\mathl{{\mathcal O}_{ P }}{} bezeichnet.
\zwischenueberschrift{Morphismen von beringten Räumen}
Zu einer stetigen Abbildung
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { C^0 (V,\R) } {C^0 ( \varphi^{-1}(V),\R)
} {f} { f \circ \varphi
} {.}
Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch $\varphi^*f$. Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( X, {\mathcal O}_X \right) }} {und} {{ \left( Y, {\mathcal O}_Y \right) }} {}
\definitionsverweis {beringte Räume}{}{.}
Ein
\definitionswort {Morphismus beringter Räume}{}
ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
zusammen mit einer Familie von
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {\varphi^*_V} { \Gamma (V, {\mathcal O}_Y ) } {\Gamma ( \varphi^{-1}(V), {\mathcal O}_X )
} {}
zu jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die mit den
\definitionsverweis {Restriktionsabbildungen}{}{}
verträglich sind.
}
Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma (V, {\mathcal O}_Y ) & \stackrel{ \varphi^*_V }{\longrightarrow} & \Gamma ( \varphi^{-1}(V), {\mathcal O}_X ) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma (W, {\mathcal O}_Y ) & \stackrel{ \varphi^*_W }{\longrightarrow} & \Gamma ( \varphi^{-1}(W), {\mathcal O}_X ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Ein Morphismus
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
von beringten Räumen induziert für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Ringhomomorphismus der Halme
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{Y, \varphi(P)} } {{\mathcal O}_{X,P}
} {,}
wobei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathcal O}_{Y, \varphi(P)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (V, {\mathcal O}_Y )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P)
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert wird, auf den Keim von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*(f)
}
{ \in }{ \Gamma (\varphi^{-1}(V), {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abgebildet wird.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Morphismus beringter Räume}{}{}
\maabb {\varphi} {(X, {\mathcal O}_{ X }) } {(Y, {\mathcal O}_{ Y })
} {}
heißt
\definitionswort {Isomorphismus}{,}
wenn es einen Morphismus
\maabb {\psi} {(Y, {\mathcal O}_{ Y }) } {(X, {\mathcal O}_{ X })
} {}
beringter Räume mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ \varphi
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ X }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ Y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {als Identität von beringten Räumen} {} {}
gibt.
}
\zwischenueberschrift{Verklebungsdaten für beringte Räume}
Die folgende Konstruktion ist eine Erweiterung von Lemma 2.6.
\inputdefinition
{}
{
Unter einem
\definitionswort {Verklebungsdatum}{}
für
\definitionsverweis {beringte Räume}{}{}
versteht man den folgenden Datensatz.
\aufzaehlungvier{Eine Familie
\mathbed {(U_i, {\mathcal O}_{ U_i } )} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von beringten Räumen.
}{Für jedes Paar
\mathl{(i,j)}{} eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_{i j}
}
{ \subseteq }{ U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{U_{ii}
}
{ = }{U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Für jedes Paar
\mathl{(i,j)}{} einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi_{ji}} { { \left( U_{ij}, {\mathcal O}_{ U_{ij} } \right) } } { { \left( U_{ji}, {\mathcal O}_{ U_{ji} } \right) }
} {}
von
\definitionsverweis {beringten Räumen}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \varphi_{ii}
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ (U_i, {\mathcal O}_{ U_{i} } ) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}} {} {}
}{Für Indizes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j,k
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionswort {Kozykelbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{kj} \circ \varphi_{ji}
}
{ =} { \varphi_{ki}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Homomorphismus von
\mathl{U_{ik} \cap U_{ij}}{} nach
\mathl{U_{k}}{} erfüllt.
}
}
\inputfaktbeweis
{Beringte Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei ein
\definitionsverweis {Verklebungsdatum}{}{}
\mathbed {(U_i, {\mathcal O}_{ U_i } )} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
für
\definitionsverweis {beringte Räume}{}{}
gegeben.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen beringten Raum
\mathl{{ \left( X , {\mathcal O}_{ X } \right) }}{,} eine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Isomorphismen}{}{}
\maabb {\psi_i} {U_i} { V_i
} {}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_i { \left( U_{ij} \right) }
}
{ =} { V_i \cap V_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_i {{|}}_{U_{ij} }
}
{ =} { \psi_j {{|}}_{U_{ji} } \circ \varphi_{ji}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Existenz eines zugrunde liegenden Raumes $X$ ergibt sich aus
Lemma 2.6.
Zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} W \cap V_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor und wir setzen
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{\Gamma(W, {\mathcal O}_{ X } )
}
{ \defeq} { { \left\{ (s_i, i \in I) \mid s_i \in \Gamma(\psi_i^{-1} (W \cap V_i), {\mathcal O}_{ U_i } ) , \, \varphi_{ji } { \left( s_i {{|}}_{ \psi_i^{-1}(W) \cap U_{i j} } \right) } = s_j {{|}}_{\psi_j^{-1}(W) \cap U_{ji} } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine Garbe auf $X$ von kommutativen Ringen, die auf den $V_i$ über die $\psi_i$ mit den vorgegebenen Garben auf $U_i$ übereinstimmt.
\zwischenueberschrift{Lokal beringte Räume}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} heißt
\definitionswort {lokal beringt}{,}
wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_P}{} ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
$X$ ist mit der Garbe der stetigen Funktionen
\mathl{C^0 (-,\R)}{} ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{:}
Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine in einer offenen Umgebung von $x$ definierte stetige Funktion $f$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(P)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der $f$ invertierbar ist. Daher sind die
\definitionsverweis {Halme}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_P}{}
\definitionsverweis {lokale Ringe}{}{}
und $X$ ist lokal beringt.
} Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man den
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
des lokalen Ringes
\mathl{{\mathcal O}_P}{} den
\definitionswort {Restekörper}{}
von $P$. Er wird mit
\mathl{\kappa (P)}{} bezeichnet.
}
Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach $\R$, siehe Aufgabe 7.16.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{,} einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer globalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man den Wert von $f$ im
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
$\kappa (x)$ von $x$ die
\definitionswort {Auswertung}{}
von $f$ in $x$. Sie wird mit
\mathl{f(x)}{} bezeichnet.
}
IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma(X, {\mathcal O}_{ X } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Äquivalenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $\kappa (P)$ genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_P
}
{ \in }{ {\mathfrak m}_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn $f_P$ ist keine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in ${\mathcal O}_{X,P}$.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( X, {\mathcal O}_X \right) }} {und} {{ \left( Y, {\mathcal O}_Y \right) }} {}
\definitionsverweis {lokal beringte Räume}{}{.}
Ein
\definitionswort {Morphismus lokal beringter Räume}{}
von $X$ nach $Y$ ist ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
der beringten Räume, für den die induzierten
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_P^*} { {\mathcal O}_{Y, \varphi(P)} } { {\mathcal O}_{X, P}
} {}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {lokale Homomorphismen}{}{}
sind.
}
\zwischenueberschrift{Der Invertierbarkeitsort}
\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} und einer globalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_f
}
{ \defeq} { { \left\{ P\in X \mid f(P) \neq 0 \text{ in } \kappa (P) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {offen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im lokalen Ring ${\mathcal O}_P$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn $f$ in ${\mathcal O}_P$ nicht invertierbar ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $f$ in ${\mathcal O}_P$ invertierbar und es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{{\mathcal O}_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gf
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\zusatzklammer {einem Repräsentanten} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ \in} { \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und eine eventuell kleinere offene Umgebung $U'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Auf dieser offenen Umgebung ist somit $f$ invertierbar und es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U'
}
{ \subseteq }{X_f
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass $X_f$ offen ist.
Die Menge der Punkte, für die $f$ als Element im Halm ${\mathcal O}_P$ nicht $0$ ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe
Beispiel 11.17.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} und einer globalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_f
}
{ \defeq} { { \left\{ P\in X \mid f(P) \neq 0 \text{ in } \kappa (P) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Invertierbarkeitsort}{}
von $f$.
}
Nach
Aufgabe 7.20
ist $f$ in
\mathl{\Gamma (X_f, {\mathcal O}_X )}{} eine Einheit.
\inputfaktbeweis
{Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbarkeitsort/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {lokal beringte Räume}{}{}
und
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
ein
\definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsorte}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (Y, {\mathcal O}_Y )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(Y_f)
}
{ =} { X_{\varphi^*f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das Element $f$ ist in
\mathl{\Gamma (Y_f, {\mathcal O}_Y )}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
und der Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Gamma (Y_f, {\mathcal O}_Y ) } { \Gamma ( \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) } , {\mathcal O}_X )
} {}
zeigt, dass
\mathl{\varphi^*f}{} in
\mathl{\Gamma ( \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) } , {\mathcal O}_X )}{} eine Einheit ist, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) }
}
{ \subseteq }{ X_{\varphi^*f}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet. Für einen Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in} {X_{\varphi^*f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{\varphi^*f}}{} eine Einheit im lokalen Ring
\mathl{{\mathcal O}_{X, P}}{.} Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {{\mathcal O}_{Y,\varphi(P)} } {{\mathcal O}_{X,P}
} {}
muss auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathcal O}_{Y,\varphi(P)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Einheit sein, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P)
}
{ \in }{ Y_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in} { \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bedeutet.