Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Die reelle Ebene sei mit der
\definitionsverweis {euklidischen Struktur}{}{}
und dem zugehörigen
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
versehen. Berechne
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nabla_FG
}
{ = }{
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu den Vektorfeldern
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ =} { \left( x^2-y^3 , \, xy+y^2 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(x,y)
}
{ =} { \left( e^{xy^2} , \, x^3-x^2y^5 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} { 3+t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir als eine
\definitionsverweis {riemannsche Metrik}{}{}
auf $I$ interpretieren. Bestimme die
\definitionsverweis {vertikale Ableitung}{}{}
\zusatzklammer {zu dem zugehörigen
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}} {} {}
\mathl{\nabla_\partial { \left( t^3- \sin \left( t^2 \right) \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {g} {I} {\R_+
} {}
eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine
\definitionsverweis {riemannsche Metrik}{}{}
auf $I$ interpretieren. Bestimme die
\definitionsverweis {horizontalen Schnitte}{}{}
zu dem zugehörigen
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
auf $I \times \R$
\zusatzklammer {siehe
Beispiel 26.4} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
derart, dass das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TM$ trivial ist, und sei auf $M$ über eine differenzierbare Trivialisierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ TM
}
{ \cong }{ M \times \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit Hilfe des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
auf dem $\R^n$} {} {}
eine
\definitionsverweis {riemannsche Struktur}{}{}
gegeben
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 16.2} {} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
auf $M$ der
\definitionsverweis {triviale Zusammenhang}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathbb H}$ die
\definitionsverweis {Halbebene von Poincaré}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}
und dem zugehörigen
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {vertikale Ableitung}{}{}
\mathl{\nabla_{\partial_1 + \partial_2} (G)}{} zum Vektorfeld
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(x,y)
}
{ =} { \left( x^5-y^3+2xy , \, 4 x^2+ y^3 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
$\nabla$ auf dem
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TX$ einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$X$ gegeben. Es gebe
\definitionsverweis {Basisschnitte}{}{}
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_{V_i} V_j - \nabla_{V_j} V_i
}
{ =} { [V_i,V_j]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$. Zeige, dass $\nabla$
\definitionsverweis {torsionsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
eines offenen Intervalls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {torsionsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei darauf eine
\definitionsverweis {riemannsche Struktur}{}{}
durch die Funktionen ${ \left( g_{ij} \right) }$ gegeben mit der
\definitionsverweis {inversen Matrix}{}{}
\mathl{{ \left( g^{k l} \right) }}{.} Es sei $\nabla$ der durch die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma_{ij}^k
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \sum_{l = 1}^n g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {lineare Zusammenhang}{}{,}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_{\partial_i} \partial_j
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n\Gamma_{ij}^k\,\partial_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gekennzeichnet ist. Zeige in zwei Schritten, dass $\nabla$ die Koszul-Formel aus
Lemma 26.10
erfüllt.
\aufzaehlungzwei {Für die Basisfelder $\partial_i$.
} {Für beliebige Vektorfelder $V,W,Z$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
und sei $\nabla$ ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf $TM$. Es sei vorausgesetzt, dass $\nabla$ lokal für Basisfelder $\partial_1 , \ldots , \partial_n$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial_i \left\langle \partial_j , \partial_k \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \nabla_{\partial_i} \partial_j , \partial_k \right\rangle + \left\langle \partial_j , \nabla_{\partial_i} \partial_k \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass $\nabla$
\definitionsverweis {metrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
Das Konzept eines metrischen Zusammenhangs gibt es nicht nur auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit, sondern allgemeiner auf einem riemannschen Vektorbündel.
Es sei
\maabb {p} {E} {M
} {}
ein
\definitionsverweis {riemannsches Vektorbündel}{}{}
über einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$. Ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf $E$ heißt
\definitionswort {metrisch}{,}
wenn auf jeder offenen Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_V \left\langle s , t \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \nabla_V s , t \right\rangle + \left\langle s , \nabla_Vt \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
$V$ und stetig differenzierbare Schnitte $s,t$ in $E$ gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {p} {E = I \times \R^n } {I
} {}
das triviale Vektorbündel über $I$, das wir mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
als
\definitionsverweis {riemannsches Vektorbündel}{}{}
auffassen. Zeige, dass ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
$\nabla$ auf $E$ genau dann
\definitionsverweis {metrisch}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
die Bedingung
\zusatzklammer {alles bezieht sich auf die einzige Ableitungsrichtung $\partial$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma_j^k
}
{ =} { - \Gamma_k^j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ j,k
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {E} {M
} {}
ein
\definitionsverweis {riemannsches Vektorbündel}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ und sei $\nabla$ ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf $E$. Es sei vorausgesetzt, dass $\nabla$ lokal für die
\definitionsverweis {Standardvektorfelder}{}{}
$\partial_1 , \ldots , \partial_n$ und
\definitionsverweis {Basisschnitte}{}{}
\mathl{s_1 , \ldots , s_r}{} von $E$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial_i \left\langle s_j , s_k \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \nabla_{\partial_i} s_j , s_k \right\rangle + \left\langle s_j , \nabla_{\partial_i} s_k \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass $\nabla$
\definitionsverweis {metrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe vergleiche
Aufgabe 10.16
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabb {\varphi} {V} {U \subseteq Y
} {}
eine $C^2$-diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch eine offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir $\varphi$ auch als Abbildung nach $\R^n$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V & \stackrel{ \partial_i }{\longrightarrow} & TV & \stackrel{ T( \partial_j) }{\longrightarrow} & TTV & \\ \!\!\!\!\! \,\, \, \varphi \downarrow & & \!\!\!\!\! T(\varphi) \downarrow & & \downarrow TT(\varphi) \!\!\!\!\! & & \\ U & \stackrel{ }{\longrightarrow} & TU & \stackrel{ }{\longrightarrow} & TTU &\!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt. Wie kann man die Abbildungen in den Diagonalen beschreiben?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} { 1+t^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir als eine
\definitionsverweis {riemannsche Metrik}{}{}
auf $I$ interpretieren. Bestimme die
\definitionsverweis {vertikale Ableitung}{}{}
\zusatzklammer {zu dem zugehörigen
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}} {} {}
\mathl{\nabla_\partial { \left( 3e^{-t^2} + t \cos \left( t \right) - t^5 \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne $\Gamma^1_{12}, \Gamma^2_{12}, \Gamma^1_{22}, \Gamma^2_{22}$ in Beispiel 18.8.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei ${\mathbb H}$ die
\definitionsverweis {Halbebene von Poincaré}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}
und dem zugehörigen
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {vertikale Ableitung}{}{}
\mathl{\nabla_{xy\partial_1 -2y^3 \partial_2} (G)}{} zum Vektorfeld
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(x,y)
}
{ =} { \left( x^4-2y^2 , \, 3 x^3- \ln \left( 1+x^2y^2 \right) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $\nabla$ ein
\definitionsverweis {torsionsfreier}{}{}
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch wie viele unabhängige
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
wird er
\zusatzklammer {in Abhängigkeit von $n$} {} {}
bestimmt?
}
{} {}