Kurs:Diskrete Mathematik/25/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	3	0	0	4	0	0	0	3	3	8	0	0	0	0	0	0	0	27

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze ${}1,2,3,4$ nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz ${}3$ bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften ${}A,B,C,D$ und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
unter welcher nicht?

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Verknüpfung

\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a*b,

die einem Paar ${}(a,b)$ diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl ${}b$ ${}a$ -fach hintereinander schreibt.

Bestimme ${}7*6$ .
Bestimme ${}4*13$ .
Ist die Verknüpfung kommutativ?
Ist die Verknüpfung assoziativ?
Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für natürliche Zahlen die folgenden Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

Für jede natürliche Zahl ${}a$ gilt ${}1\,{|}\,a$ und ${}a\,{|}\,a$ .
Für jede natürliche Zahl ${}a$ gilt ${}a\,{|}\,0$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,c$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jede natürliche Zahl ${}c$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,{\left(rb+sc\right)}$ für beliebige natürliche Zahlen ${}r,s$ .

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1085$ und ${}806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge ${}C$ aller stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ die folgende Relation: Es ist ${}f\sim g$ , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion ${}\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

{}f=g\cdot \alpha \,

gibt.

Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
Zeige, dass aus ${}f\sim g$ folgt, dass die Nullstellenmenge von ${}f$ und von ${}g$ übereinstimmen.
Zeige, dass die beiden Funktionen
${}f(x)=x\,$

und

${}g(x)=x^{2}\,$

nicht zueinander äquivalent sind.