Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 5

Wir beginnen mit drei Aufwärmaufgaben.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}\varphi \colon G\rightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass die Menge der Fixpunkte von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}G$ bildet.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Matrix

{\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Q} ^{2}$ und ebenso von ${}\mathbb {Z} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

G_{1}\times \cdots \times G_{n}.

b) Es sei ${}H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

\varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten ${}\varphi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass das Potenzieren

G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ .

Aufgabe * (2 Punkte)

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, ${}{\mathbb {C} }^{\times }=({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$ . Bestimme für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ den Kern des Potenzierens