Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 27



Übungsaufgaben

Zeige, dass eine - Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.


Zeige, dass das universelle modallogische Modell zu einer einzigen Aussagenvariable bereits unendlich ist.


Es sei eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige, dass vollständig ist, dass also für jedes die Alternative „Entweder oder “ gilt.


Es sei eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die - Modallogik umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige, dass in entweder das Leerheitsaxiom oder das Fatalismusaxiom gilt.


Es sei eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die - Modallogik umfasse und in der es einen paradoxen Ausdruck gebe. Zeige, dass nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist.


Die folgende Aufgabe kann man wegen Aufgabe 25.6 insbesondere auf die Beweisbarkeitslogik anwenden.

Wir setzen

Es sei eine - Modallogik, in der

ableitbar ist. Zeige, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung

gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist.


Es sei die - Modallogik und sei das universelle modallogische Modell. Zeige


Ist das universelle modallogische Modell symmetrisch, reflexiv, transitiv? Ist das universell symmetrische modallogische Modell reflexiv?


Es sei das universelle modallogische Modell. Kann man auf auch eine andere Wahrheitsbelegung definieren?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein modallogisches Modell , eine Welt und einen modallogischen Ausdruck mit

aber


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein modallogisches Modell und das universelle modallogische Modell. Zeige, dass durch

eine Abbildung definiert ist, die ein Homomorphismus (bezüglich der zweistelligen Relationen und ) ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein modallogisches Modell für die - Modallogik. Zeige, dass für zueinander erreichbare Welten die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck genau dann gilt, wenn gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine modallogische Ausdrucksmenge und ein modallogischer Ausdruck. Es sei . Zeige, dass es eine endliche Teilmenge mit gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in der - Modallogik das Schema

ableitbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

In einem - modallogischen System gelte das Axiomenschema

Zeige, dass man in das Möglichkeitsaxiom

ableiten kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Charakterisiere die modallogischen Rahmen, in denen (bei jeder Wahrheitsbelegung) das Axiomenschema

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass aus dem - modallogischen Axiomenschema

nicht das Axiomenschema

ableitbar ist.


In dieser Woche können Sie noch Aufgaben aus dem Kurs, die sie noch nicht oder nicht mit voler Punktzahl bearbeitet haben, nachreichen.

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