Kurs:Elementare Algebra/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	5	5	5	0	5	6	3	4	3	3	2	0	12	1	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Monoid ${}M$.
2. Ein Unterkörper eines Körpers ${}K$.
3. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
6. Die von einer Familie ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, in einer ${}R$- Algebra ${}A$ erzeugte ${}R$-Algebra.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
2. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
3. Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

${}w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

über den Ansatz

${}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=w\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}116901$ und ${}138689$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde unter den Zahlen ${}\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})$ für jedes ${}g\in G$ ist.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten in der Gruppe ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${}U$ (als Punkte in ${}\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

   im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

2. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

   in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in ${}\mathbb {Q}$ konvergenten Folgen ein Ideal?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}\zeta _{11}$ die elfte primitive komplexe Einheitswurzel. Wie oft wird in der Familie ${}\zeta _{11}^{i}$, ${}i=1,\ldots ,100$, die ${}1$ durchlaufen?