Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Nebenklassen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim_H }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind} {} {}
wenn
\mathl{x^{-1}y \in H}{.}
}
Dies ist in der Tat eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{:}
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}x
}
{ = }{e_G
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus
\mathl{x^{-1}y \in H}{} folgt sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{-1}x
}
{ = }{ { \left( x^{-1}y \right) }^{-1}
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aus
\mathl{x^{-1}y \in H}{} und
\mathl{y^{-1}z \in H}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}z
}
{ = }{ { \left( x^{-1}y \right) } { \left( y^{-1}z \right) }
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Dann heißt zu jedem
\mathl{x \in G}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xH
}
{ =} { { \left\{ xh \mid h \in H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Linksnebenklasse von}{} $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt \definitionswort {Linksnebenklasse}{.} Entsprechend heißt eine Menge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Hy
}
{ =} { { \left\{ hy \mid h \in H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionswort {Rechtsnebenklasse}{}
\zusatzklammer {zu $y$} {} {.}
}
Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{{[}}x{{]}}
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid x \sim y \right\} }
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid x^{-1} y \in H \right\} }
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid \text{es gibt } h \in H \text{ mit } x^{-1 }y = h \right\} }
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid \text{es gibt } h \in H \text{ mit } y = xh \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {xH
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung
\zusatzklammer {eine \stichwort {Partition} {}} {} {}
von $G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Nebenklassen/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Es seien
\mathl{x,y \in G}{} zwei Elemente.}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungsieben{$x \in yH$.
}{$y \in xH$.
}{$y^{-1}x \in H$.
}{$x^{-1}y \in H$.
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xH \cap yH
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim_H }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xH
}
{ = }{yH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$
\zusatzklammer {und die von $(2)$ und $(4)$} {} {}
folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen
\mathl{1 \in H}{.} Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh_1
}
{ = }{yh_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit gewissen
\mathl{h_1,h_2 \in H}{.} Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{yh_2h_1^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach
Definition 11.1
äquivalent. Da die Linksnebenklassen die
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).
\inputbeispiel{}
{
Zu
\mathl{d \in \N}{} bzw. zur Untergruppe
\mathl{\Z d \subseteq \Z}{} gibt es die $d$
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
\mathdisp {\Z d, 1 +\Z d, 2+\Z d , \ldots , d-1 + \Z d} { . }
Die Nebenklasse
\mathl{i + \Z d}{} besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch $d$ den Rest $i$ ergeben.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Einheitengruppe von ${\mathbb C}$, also
\mathl{({\mathbb C}^\times, 1 , \cdot)}{.}
Zur Untergruppe
\mathl{\R_+ \subseteq {\mathbb C}^\times}{} sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie durch Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl auseinander hervorgehen. Die Nebenklassen sind also die Halbstrahlen, die vom Nullpunkt ausgehen.
Zur Untergruppe
\mathl{S^1 ={ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} } \subseteq {\mathbb C}^\times}{} sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie den gleichen Betrag besitzen, also durch eine Drehung ineinander überführbar sind. Die Nebenklassen sind also die Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt.
}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Lagrange}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Joseph-Louis_Lagrange.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Joseph-Louis Lagrange (1736 Turin - 1813 Paris)} }
\bildlizenz { Joseph-Louis Lagrange.jpeg } {unbekannt} {Katpatuka} {Commons} {PD} {http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Joseph-Louis_Lagrange.jpeg}
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist ihre Kardinalität ${ \# \left( H \right) }$ ein Teiler von ${ \# \left( G \right) }$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Linksnebenklassen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gH
}
{ \defeq }{{ \left\{ gh \mid h\in H \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für sämtliche
\mathl{g \in G}{.} Es ist
\maabbeledisp {} {H} {gH
} {h} {gh
} {,}
eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {H} {und} {gH} {,}
so dass alle Nebenklassen gleich groß sind
\zusatzklammer {und zwar ${ \# \left( H \right) }$ Elemente haben} {} {.}
Die Nebenklassen bilden
\zusatzklammer {als Äquivalenzklassen} {} {}
zusammen eine
\definitionsverweis {Zerlegung}{}{}
von $G$, so dass ${ \# \left( G \right) }$ ein Vielfaches von ${ \# \left( H \right) }$ sein muss.
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktfolgerung {Dann teilt die
\definitionsverweis {Ordnung von $g$}{}{} die
\definitionsverweis {Gruppenordnung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die Anzahl der
\zusatzklammer {Links- oder Rechts} {-} {}\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
der \definitionswort {Index}{} von $H$ in $G$, geschrieben
\mathdisp {\operatorname{ind}_{G } H} { . }
}
In der vorstehenden Definition ist Anzahl im allgemeinen als die \stichwort {Mächtigkeit} {} einer Menge zu verstehen. Der Index wird aber hauptsächlich dann verwendet, wenn er endlich ist, wenn es also nur endlich viele Nebenklassen gibt. Das ist bei endlichem $G$ automatisch der Fall, kann aber auch bei unendlichem $G$ der Fall sein, wie schon die Beispiele
\mathbed {\Z n \subseteq \Z} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,} zeigen. Wenn $G$ eine endliche Gruppe ist und
\mathl{H \subseteq G}{} eine Untergruppe, so gilt aufgrund des Satzes von Lagrange die einfache \stichwort {Indexformel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( G \right) }
}
{ =} { { \# \left( H \right) } \cdot \operatorname{ind}_{G } H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Normalteiler}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Man nennt $H$ einen \definitionswort {Normalteiler}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xH
}
{ =} {Hx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in G}{} ist, wenn also die
\definitionsverweis {Linksnebenklasse}{}{}
zu $x$ mit der Rechtsnebenklasse zu $x$ übereinstimmt.
}
Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von \stichwort {Nebenklassen} {.} Statt
\mathkor {} {xH} {oder} {Hx} {}
schreiben wir meistens $[x]$. Die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xH
}
{ = }{Hx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet
\betonung{nicht}{,} dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh
}
{ = }{hx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{h \in H}{} ist, sondern lediglich, dass es zu jedem
\mathl{h \in H}{} ein
\mathl{\tilde{h} \in H}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh
}
{ = }{\tilde{h}x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
gibt.
\inputfaktbeweis
{Normalteiler/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$H$ ist ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
}{Es ist
\mathl{xhx^{-1} \in H}{} für alle
\mathkor {} {x \in G} {und} {h \in H} {.}
}{$H$ ist invariant unter jedem
\definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} von $G$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) bedeutet bei gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xh
}
{ = }{\tilde{h}x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{h}
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann. Durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xhx^{-1}
}
{ = }{\tilde{h}
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also $(2)$. Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation $(2) \Rightarrow (1)$. Ferner ist $(2)$ eine explizite Umformulierung von $(3)$.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer dreielementigen Menge, d.h. $S_3$ besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge
\mathl{\{1,2,3\}}{} in sich. Die triviale Gruppe $\{ \operatorname{id} \}$ und die ganze Gruppe sind
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \{ \operatorname{id} \, , \varphi \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\varphi$ die Elemente
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
vertauscht und $3$ unverändert lässt, ist eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei $\psi$ die Bijektion, die $1$ fest lässt und
\mathkor {} {2} {und} {3} {} vertauscht. Dieses $\psi$ ist zu sich selbst invers. Die
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \varphi \psi^{-1}
}
{ = }{ \psi \varphi \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann die Abbildung, die
\mathkor {} {1} {auf} {3} {,}
\mathkor {} {2} {auf} {2} {}
und
\mathkor {} {3} {auf} {1} {}
schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu $H$.
}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Kern ist Normalteiler/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
\mathl{\ker \varphi}{} ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verwenden
Lemma 11.10.
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( xh x^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(x) \varphi(h) \varphi { \left( x^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(x) e_H\varphi { \left( x^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(x) \varphi(x)^{-1}
}
{ =} { e_H
}
}
{}{}{,}
also gehört
\mathl{xh x^{-1}}{} ebenfalls zum Kern.