Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 5/latex
\setcounter{section}{5}
Es bestehen viele und weitreichende Parallelen zwischen dem Ring $\Z$ der ganzen Zahlen und einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper. Grundlegend ist, dass man in beiden Situation eine \stichwort {Division mit Rest} {} durchführen kann.
\zwischenueberschrift{Division mit Rest in $\Z$ }
Zu einer ganzen Zahl $d$ ist die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d
}
{ =} {{ \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aller Vielfachen von $d$ eine Untergruppe von $\Z$. Wir wollen zeigen, dass jede Untergruppe der ganzen Zahlen $\Z$ diese Gestalt besitzt, also von einem Element erzeugt wird.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Division mit Rest/Z/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
\mathbed {r} {}
{0 \leq r \leq d-1} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {qd+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {Zur Existenz.\leerzeichen{}}{}{}
{Bei
\mathl{n=0}{} ist
\mathl{q=r=0}{} eine Lösung. Es sei $n$ positiv. Da $d$ positiv ist, gibt es ein Vielfaches
\mathl{ad \geq n}{.} Daher gibt es auch eine Zahl $q$ mit \mathkon { qd \leq n } { und } { (q+1)d > n }{ .} Es sei
\mathl{r:=n-qd}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{qd
}
{ \leq} { qd+r
}
{ <} {qd+d
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathl{0 \leq r <d}{} wie gewünscht. Bei $n$ negativ kann man schreiben
\mathl{-n=\tilde{q} d+\tilde{r}}{} nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich
\mathdisp {n= (-\tilde{q})d -\tilde{r} = \begin{cases} (-\tilde{q}) d+0 \text{ bei } \tilde{r}=0 \\ (- \tilde{q} -1)d +d - \tilde{r} \text{ sonst}\, . \end{cases}} { }
Im zweiten Fall erfüllen
\mathkor {} {q=- \tilde{q} -1} {und} {r=d - \tilde{r}} {}
die Bedingungen.}
{}
\teilbeweis {Zur Eindeutigkeit.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei
\mathl{qd+r=n= \tilde{q}d + \tilde{r}}{,} wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung
\mathl{\tilde{r} \geq r}{.} Dann gilt
\mathl{(q-\tilde{q})d = \tilde{r} -r}{.} Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als $d$, links steht aber ein Vielfaches von $d$, sodass die Differenz $0$ sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.}
{}
In der Notation des vorstehenden Satzes soll $q$ an \stichwort {Quotient} {} und $r$ an \stichwort {Rest} {} erinnern. Die Division mit Rest kann man auch so verstehen, dass man jede rationale Zahl
\mathl{n/d}{} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{n}{d}
}
{ =} { \lfloor \frac{n}{d} \rfloor + \frac{r}{d}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben kann, wobei
\mathl{\lfloor s \rfloor}{} die größte ganze Zahl $\leq s$ bedeutet und der rationale Rest
\mathl{r/d}{} die Bedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ r/d
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. In dieser Form kann man auch eine Division mit Rest für jede reelle Zahl aus den Axiomen der reellen Zahlen beweisen.
\inputfaktbeweis
{Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von $\Z $ sind genau}
\faktfolgerung {die Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d
}
{ =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl $d$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Eine Teilmenge der Form $\Z d$ ist aufgrund des Distributivgesetzes eine Untergruppe. Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass $H$ neben $0$ noch mindestens ein weiteres Element $x$ enthält. Wenn $x$ negativ ist, so muss die Untergruppe $H$ auch das Negative davon, also $-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. $H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun $d$ die kleinste positive Zahl aus $H$. Wir behaupten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{\Z d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei ist die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z d
}
{ \subseteq }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar, da mit $d$ alle
\zusatzklammer {positiven und negativen} {} {}
Vielfachen von $d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig. Nach
der Division mit Rest
gilt
\mathdisp {h=qd+r \text{ mit } 0 \leq r < d} { . }
Wegen \mathkon { h \in H } { und } { qd \in H }{ } ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ h-qd
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach der Wahl von $d$ muss wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ < }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{qd
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{\Z d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{\Z d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Division mit Rest in \mathlk{K[X]}{} }
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,T
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q,R
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R = 0} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist
\mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {}
eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ ein Körper ist} {} {}
\mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {}
eine Lösung. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
\mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {}
mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ P'
}
{ \defeq} { P-TH
}
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
\mathkor {} {Q'} {und} {R'} {}
mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { P'+TH
}
{ =} { TQ'+TH+R'
}
{ =} { T(Q'+H)+R'
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'+H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ TQ+R
}
{ = }{ TQ'+R'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q')
}
{ = }{ R'-R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lösbar.}
{}
Die Berechnung der Polynome
\mathkor {} {Q} {und} {R} {}
heißt \stichwort {Polynomdivision} {.} Wir geben dazu ein Beispiel über den rationalen Zahlen.
\inputbeispiel{}
{
Wir führen die
\definitionsverweis {Polynomdivision}{}{}
\mathdisp {P=6 X^3+X+1 \text{ durch } T= 3X^2+2X-4} { }
\zusatzklammer {über $\Q$} {} {}
durch. Es wird also ein Polynom vom Grad $3$ durch ein Polynom vom Grad $2$ dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest
\zusatzklammer {maximal} {} {}
vom Grad $1$ sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man $T$ multiplizieren muss, damit das Produkt mit $P$ im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar $2X$. Das Produkt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2X { \left( 3X^2+2X-4 \right) }
}
{ =} { 6X^3 +4 X^2 -8 X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Differenz von $P$ zu diesem Produkt ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ 6 X^3+X+1 - { \left( 6X^3 +4 X^2 -8 X \right) }
}
{ =} { -4 X^2 +9X +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit diesem Polynom, nennen wir es $P'$, setzen wir die Division durch $T$ fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man $T$ mit
\mathl{{ \frac{ -4 }{ 3 } }}{} multiplizieren. Dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{- { \frac{ 4 }{ 3 } } T
}
{ =} { - { \frac{ 4 }{ 3 } } { \left( 3X^2 +2X-4 \right) }
}
{ =} { -4X^2 - { \frac{ 8 }{ 3 } } X + { \frac{ 16 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Differenz zu $P'$ ist somit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ -4 X^2 +9X +1 - { \left( -4X^2 - { \frac{ 8 }{ 3 } } X + { \frac{ 16 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 35 }{ 3 } } X - { \frac{ 13 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ 6 X^3 +X + 1
}
{ =} { { \left( 3X^2 +2 X-4 \right) } { \left( 2X - { \frac{ 4 }{ 3 } } \right) } + { \frac{ 35 }{ 3 } } X - { \frac{ 13 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
von $P$, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a)Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { (a-a) Q(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Allgemeinen gibt es
aufgrund der Division mit Rest
eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (X-a)Q +R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (X-a)Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom
\zusatzklammer {\mathlk{\neq 0}{}} {} {}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$
\zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 5.5
und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b)
}
{ = }{ Q(b)(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann nach
Lemma 23.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (5)
nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
{Polynom/K/Produkt von linearen Polynomen und nullstellenfrei/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt jedes
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$.}
\faktzusatz {Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{}
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} {} {} eindeutig bestimmt.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 5.8. }
Es gilt allgemeiner, dass die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren im Wesentlichen eindeutig ist. Das werden wir später behandeln, siehe insbesondere Korollar 9.4.
\zwischenueberschrift{Der Fundamentalsatz der Algebra}
Es gilt der folgende \stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {,} den wir hier ohne Beweis erwähnen.
\inputfakt{Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jedes nichtkonstante
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{{\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass jedes von $0$ verschiedene Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} {c(X-z_1)(X-z_2) \cdot (X-z_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit eindeutig bestimmten komplexen Zahlen
\mathl{z_1 , \ldots , z_n}{} schreiben
\zusatzklammer {wobei Wiederholungen erlaubt sind} {} {.}
\zwischenueberschrift{Euklidische Bereiche}
Ringe, in denen man eine Division mit Rest sinnvoll durchführen kann, bekommen einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionswort {euklidischer Bereich}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {euklidischer Ring}{}} {} {} ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$, für den eine Abbildung \maabb {\delta} { R \setminus \{0\} } { \N } {} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente
\mathl{a , b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {a = qb+r \text{ und } r=0 \text{ oder } \delta (r)< \delta (b)} { . }
}
Die in der Definition auftauchende Abbildung $\delta$ nennt man auch \stichwort {euklidische Funktion} {.} Die ganzen Zahlen $\Z$ bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion.
\inputbeispiel{}
{
Für einen Körper $K$ ist der Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion $\delta$ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring
\mathl{K[X]}{} und $\mathbb Z$ beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(fg)
}
{ =} { \delta(f) + \delta(g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gaussian_integer_lattice.svg} }
\end{center}
\bildtext {Gaußsche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene} }
\bildlizenz { Gaussian integer lattice.svg } {Gunther} {Gunther} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Eine Gaußsche Zahl $z$ ist durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ a + b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.
Eine euklidische Funktion ist durch die Norm $N$ gegeben, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N (a+b{ \mathrm i} )
}
{ \defeq }{ a^2 +b^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert ist. Man kann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(z)
}
{ = }{z \cdot \overline{ z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, wobei $\overline{ z }$ die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N (zw)
}
{ = }{ N(z)N(w)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von
\mathl{\Z [{ \mathrm i}]}{} bestimmen: ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ wz
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N (zw)
}
{ = }{ N(z)N(w)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(z)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit sind genau die Elemente
\mathl{\{1,-1,{ \mathrm i},-{ \mathrm i} \}}{} diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.
}
\inputfaktbeweis
{Gaußsche Zahlen/Norm ist euklidische Funktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{.}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w,z
}
{ \in }{ \Z[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{w}{z}
}
{ =} { \frac{w \bar{z} }{z \bar{z} }
}
{ =} { q_1 + q_2 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q_1, q_2
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt ganze Zahlen
\mathl{a_1, a_2}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { q_1-a_1 } , \betrag { q_2-a_2 }
}
{ \leq }{ 1/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_1 + q_2 { \mathrm i}
}
{ =} {a_1 +a_2 { \mathrm i} + (q_1-a_1) + (q_2-a_2) { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 +a_2 { \mathrm i}
}
{ \in }{ \Z[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i})
}
{ =} { (q_1-a_1)^2 + (q_2-a_2)^2
}
{ \leq} { { \left( \frac{1}{2} \right) }^2 + { \left( \frac{1}{2} \right) }^2
}
{ <} { 1
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Multiplikation mit $z$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { z(a_1 +a_2 { \mathrm i}) + z((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der rechte Summand gehört dabei zu $\Z[ { \mathrm i} ]$, da man ihn als
\mathl{w- z(a_1 +a_2 { \mathrm i})}{} schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ N { \left( z { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) } \right) }
}
{ =} { N(z) N { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) }
}
{ <} { N(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}