Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 7/latex

\setcounter{section}{7}






\zwischenueberschrift{Ideale}




\inputdefinition
{}
{

Eine Teilmenge ${\mathfrak a}$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Ideal}{,} wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}

Die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man durch die Bedingung ersetzen, dass ${\mathfrak a}$ nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von $R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.




\inputdefinition
{}
{

Zu einer Familie von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1, a_2 , \ldots , a_n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ bezeichnet
\mathl{(a_1, a_2 , \ldots , a_n)}{} das von diesen Elementen \definitionswort {erzeugte Ideal}{.} Es besteht aus allen \definitionswort {Linearkombinationen}{}
\mathdisp {r_1 a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n} { , }
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_1, r_2 , \ldots , r_n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind.

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a} }
{ =} {(a) }
{ =} {Ra }
{ =} {\{ra:\, r \in R\} }
{ } {}
} {}{}{} heißt \definitionswort {Hauptideal}{.}

}

Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte \stichwort {Nullideal} {,} was wir einfach als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ = }{ (0) }
{ = }{ \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben. Die $1$ und überhaupt jede \definitionsverweis {Einheit}{}{} erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.


\inputdefinition
{}
{

Das \definitionswort {Einheitsideal}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ist der Ring selbst.

}

In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.




\inputfaktbeweis
{Körper/Genau zwei Ideale/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungzwei { $R$ ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} } {Es gibt in $R$ genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ = }{ xx^{-1} }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ \in }{ Rx }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Das bedeutet also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ = }{ xr }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sodass $x$ eine Einheit ist.

}






\zwischenueberschrift{Operationen für Ideale}

Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal \zusatzklammer {der Durchschnitt von Hauptidealen ist im Allgemeinen kein Hauptideal} {} {.} Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für Ideale, die zu neuen Idealen führen.


\inputdefinition
{}
{

Zu \definitionsverweis {Idealen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}, {\mathfrak b} \subseteq R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ nennt man das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} + {\mathfrak b} }
{ =} { { \left\{ a+b \mid a \in {\mathfrak a} , \, b \in {\mathfrak b} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \stichwort {Summe der Ideale} {.}

}

Die Summe ist wieder ein Ideal. Ein endlich erzeugtes Ideal ist die Summe von Hauptidealen, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ =} { (a_1) + \cdots + (a_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}




\inputdefinition
{}
{

Zu zwei \definitionsverweis {Idealen}{}{} ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} wird das \definitionswort {Produkt}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}{\mathfrak b} }
{ =} { { \left\{ a_1b_1 +a_2b_2 + \cdots + a_kb_k \mid a_i \in {\mathfrak a} , \, b_i \in {\mathfrak b} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.

}

Das Idealprodukt ist das Ideal, das von allen Produkten $ab$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ {\mathfrak b} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}

\definitionsverweis {erzeugt}{}{} wird. Die Menge aller Produkte
\mathl{{ \left\{ ab \mid a \in {\mathfrak a} , \, b \in {\mathfrak b} \right\} }}{} ist im Allgemeinen kein Ideal. Für Hauptideale ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a) \cdot (b) }
{ = }{(a \cdot b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {aber
\betonung{nicht}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a) + (b) }
{ = }{(a + b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

Wenn das Produkt eines Ideals mit sich selbst genommen wird, verwendet man die Potenzschreibweise, d.h.
\mathl{{\mathfrak a}^n}{} bedeutet das $n$-fache Produkt des Ideals mit sich selbst. In
\mathl{K[X,Y]}{} ist beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X,Y)^2 }
{ =} { (X^2, XY, Y^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}






\zwischenueberschrift{Ideale und Teilbarkeitsbeziehungen}

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeit/Hauptidealcharakterisierung und Einheiten/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{a,b \in R}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Das Element $a$ ist ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $b$ (also
\mathl{a {{|}} b}{),} genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.} }{$a$ ist eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.} }{Jede Einheit teilt jedes Element. }{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 7.6. }





\inputfaktbeweis
{Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{(a_1 , \ldots , a_k ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das davon \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{.} Ein Element
\mathl{t \in R}{} ist ein \definitionsverweis {gemeinsamer Teiler}{}{} von
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} genau dann, wenn
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (t)}{} ist, und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes
\mathl{s \in R}{} mit
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (s)}{} folgt, dass
\mathl{(t) \subseteq (s)}{} ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${\mathfrak a}$.

}
{

Aus
\mathl{{\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k ) \subseteq (t)}{} folgt sofort
\mathl{(a_i) \subseteq (t)}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , k}{,} was gerade bedeutet, dass $t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist
\mathl{a_i \in (t)}{} und da
\mathl{{\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k )}{} das kleinste Ideal ist, das alle $a_i$ enthält, muss
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (t)}{} gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

}


\inputfaktbeweis
{Teilbarkeitstheorie/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ = }{(a_1) \cap \ldots \cap (a_k) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element
\mathl{r \in R}{} ist ein \definitionsverweis {gemeinsames Vielfaches}{}{} von
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} genau dann, wenn
\mathl{(r) \subseteq {\mathfrak b}}{} ist, und $r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes
\mathl{s \in R}{} mit
\mathl{(s) \subseteq {\mathfrak b}}{} folgt, dass
\mathl{(s) \subseteq (r)}{} ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${\mathfrak b}$.

}
{ Siehe Aufgabe 7.7. }






\zwischenueberschrift{Das Radikal}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Radikal}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Radikalideal}{}} {} {,} wenn folgendes gilt: Falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^n }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}




\inputdefinition
{ }
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Dann nennt man die Menge
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \text{es gibt ein } r \text{ mit } f^r \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
das \definitionswort {Radikal}{} zu ${\mathfrak a}$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{rad} \,({\mathfrak a})}{} bezeichnet.

}

Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.




\inputfaktbeweis
{Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/ist ein Ideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das \definitionsverweis {Radikal}{}{} zu ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Radikalideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. $0$ gehört offenbar zum Radikal und mit
\mathl{f \in \operatorname{rad} \, (\mathfrak a )}{,} sagen wir
\mathl{f^r \in \mathfrak a}{,} ist auch
\mathl{(af)^r=a^rf^r \in \mathfrak a}{,} also gehört $af$ zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien
\mathl{f,g \in \operatorname{rad} \, \mathfrak a}{} mit
\mathl{f^r \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{g^s \in \mathfrak a}{.} Dann ist
\mathdisp {(f+g)^{r+s}= \sum_{i+j=r+s} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j}
\mathdisplaybruch= \sum_{i+j=r+s,\, i <r } \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j}
\mathdisplaybruch +\sum_{i+j=r+s,\, i \geq r} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j} \in \mathfrak a \, .} { }
Es sei nun
\mathl{f^k \in \operatorname{rad}\, (\mathfrak a)}{.} Dann ist
\mathl{(f^k)^r =f^{kr} \in \mathfrak a}{,} also
\mathl{f \in \operatorname{rad} \, (\mathfrak a)}{.}

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak p}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Primideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \neq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und wenn für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r \cdot s }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.} Dann ist $p$ genau dann ein \definitionsverweis {Primelement}{}{,} wenn das von $p$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mathl{(p)}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.

}
{ Siehe Aufgabe 7.15. }





\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {maximales Ideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ \neq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

}


\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 7.21. }