Kurs:Elliptische Kurven/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	2	5	4	4	2	3	2	5	2	10	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein glatter Punkt ${}P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
2. Eine elliptische Kurve.
3. Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.
4. Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung ${}A\subseteq B$ von diskreten Bewertungsringen.
5. Die Divisorenklassengruppe einer glatten irreduziblen Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
6. Die Zeta-Funktion zu einer Varietät ${}X$ über einem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über streckungsäquivalente Gitter und komplexe Tori.
2. Der Satz über den Grad der Multiplikationsabbildung auf einer elliptischen Kurve.
3. Der Satz von Mordell-Weil für elliptische Kurven.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie kongruente Zahlen und elliptische Kurven zusammenhängen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde acht Punkte ${}(x,y)$ mit ganzzahligen Komponenten, die die Bedingung

${}y^{2}=x^{3}+17\,$

erfüllen.

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}f=xy^{3}+y+x^{3}=0\,$

gegebene Kurve in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass bei ${}\operatorname {char} (K)=7$ der Punkt ${}(4,2)$ ein singulärer Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass die Kurve bei ${}\operatorname {char} (K)\neq 7$ glatt ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik

${}V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

mit der Geraden ${}V_{+}{\left(X+2Y+Z\right)}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme auf der durch

${}y^{2}=x^{3}-x\,$

gegebenen elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Gruppenstruktur von ${}E{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen ${}f,g$ (bezüglich ${}\Gamma$) auch ${}f+g$ und ${}f\cdot g$ elliptisch sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 3+{\mathrm {i} },-1+2{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige mit Satz 15.8 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)), dass der Endomorphismenring einer elliptischen Kurve ${}E$ die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Zeige, dass die Abbildung

$\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen ${}{\frac {3}{7}}$ und ${}{\frac {5}{13}}$, wenn ${}\mathbb {Q}$ mit dem ${}2$-adischen Standardbetrag versehen ist.

Aufgabe * (10 (1+1+1+4+3) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+2X-3\,$

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern ${}K$.

1. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+2X-3$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ in irreduzible Faktoren.
2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
3. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+2X-3$ in ${}{\mathbb {C} }[X]$ in irreduzible Faktoren.
4. Bestimme, für welche Primzahlen ${}p$ sich keine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$ ergibt.
5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ für die Restklassengruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (2)$ zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe ${}2$.

1. Durch Angabe von Matrizen.
2. Als Kombination der beiden Erzeuger ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ von ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ (vergleiche Satz 9.2 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))).

Anhang

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$. Es sei der unendlich ferne Punkt ${}{\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutrales Element festgelegt.

Dann ist die Negation auf ${}E$ durch

${}-(x,y)=(x,-y)\,$

und die Addition auf ${}E$ durch die rationalen Ausdrücke

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=\left(\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2},\,-\alpha ^{3}+\alpha (x_{1}+x_{2})-\beta \right)\,$

mit

${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+a}{y_{2}+y_{1}}}\,$

und

${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\,$

gegeben.

Es seien ${}E_{1},E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

eine Isogenie.

Dann ist ${}\varphi$ ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Wir definieren die Abbildung (und entsprechend ${}\varphi _{2},\varphi _{3}$)

$\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$

durch

${}\varphi _{1}(P)={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}P={\mathfrak {O}},\\(\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),{\text{ wenn }}P=(\lambda _{1},0)\,,\\x-\lambda _{1}{\text{ sonst }}(P=(x,y))\,.\end{cases}}\,$