Kurs:Elliptische Kurven/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	10	0	0	0	7	0	0	0	0	3	5	0	0	2	0	33

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ${}K$.
2. Die Glattheit einer ebenen projektiven Kurve ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$.
3. Eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform.
4. Die Streckungsäquivalenz von Gittern ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$.
5. Die Standardbetragsmenge von ${}\mathbb {Q}$.
6. Additive Reduktion einer elliptischen Kurve ${}E=V_{+}(F)$ mit ${}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ modulo einer Primzahl ${}p$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Struktur des Quotientenraumes ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subset {\mathbb {C} }$.
2. Der schwache Satz von Mordell-Weil.
3. Die Zeta-Funktion einer elliptischen Kurve über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (1+1+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X+6\,$

gegeben ist.

1. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E(\mathbb {R} )$.
2. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E({\mathbb {C} })$.
3. Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
4. Bestimme die Koordinaten der Punkte von ${}E(\mathbb {R} )$, wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
5. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu ${}E(K)$ gehören.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe drei elliptische Kurven über ${}\mathbb {Q}$, für die die ${}2$-Torsionsgruppen wesentlich verschieden sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und

${}E={\mathbb {C} }/\Gamma \,$

der zugehörige komplexe Torus, aufgefasst als elliptische Kurve. Beschreibe, inwiefern das Gitter ${}\Gamma$ mit den Tate-Moduln ${}T_{\ell }(E)$ (${}\ell$ Primzahl) zusammenhängt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass

${\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$

ein Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)