Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
Eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
$G$ heißt
\definitionswort {torsionsfrei}{,}
wenn für jedes Element
\mathbed {x \in G} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $G$ in der Tat eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$G$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/T}{}
\definitionsverweis {torsionsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Zeige, dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{Tor}_{ m } { \left( G \right) } \longrightarrow G \stackrel{ \cdot m}{\longrightarrow} mG \longrightarrow 0} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $R$ die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $m$
\mathl{\operatorname{Tor}_{ m } { \left( G \right) }}{} in natürlicher Weise ein
$\Z/(m)$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine kommutative Gruppe mit $n^2$ Elementen derart, dass für jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ \cong} { \Z/(n) \times \Z/(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $mn$
\mathl{\operatorname{Tor}_{ mn } { \left( G \right) }}{} die direkte Summe aus den Torsionsuntergruppen
\mathkor {} {\operatorname{Tor}_{ m } { \left( G \right) }} {und} {\operatorname{Tor}_{ n } { \left( G \right) }} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} $\Q/\Z$ unendlich ist und jedes Element eine endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{}
von $\Q/\Z$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Tor}_{ m } { \left( \Q/\Z \right) }
}
{ =} { \{ [0], [ { \frac{ 1 }{ m } } ], [ { \frac{ 2 }{ m } } ] , \ldots , [ { \frac{ m-1 }{ m } } ] \}
}
{ \cong} { \Z/(m)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ genau dann die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ besitzt, wenn die additive Gruppe
\mathl{(K,+,0)}{}
\definitionsverweis {torsionsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ {\mathbb C}/\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {komplexe Torus}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $m$ von $E$ in kanonischer Weise
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zur
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ m } } \Gamma /\Gamma}{} ist, und das diese wiederum isomorph zu
\mathl{\Gamma/ m \Gamma}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
$E$, die durch die affine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { X^3-X+6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
\aufzaehlungfuenf{Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung $2$ für $E(\R)$.
}{Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung $2$ für $E( {\mathbb C} )$.
}{Parametrisiere den oberen Bogen von $E(\R)$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
}{Bestimme die Koordinaten der Punkte von $E(\R)$, wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
}{Beschreibe eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu $E(K)$ gehören.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+aX+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichung einer
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ und es sei $\{ {\mathfrak O }, P_1, P_2, P_3 \}$ die Untergruppe der Elemente der Ordnung $\leq 2$. Man beschreibe einen Hauptdivisor, bei dem genau diese vier Punkte nichttrivial vorkommen.
}
{} {}
Für die beiden folgenden Aufgaben ziehe man Aufgabe 6.7 und Aufgabe 6.8 heran.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\R$, gegeben in
\definitionsverweis {kurzer Weierstraßform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{Das Polynom
\mathl{X^3+aX+b}{} besitzt in $\R$ genau eine Nullstelle.
}{Die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $2$,
\mathl{\operatorname{Tor}_{ 2 } { \left( E(\R) \right) }}{,} ist
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu $\Z/(2)$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E(R)
}
{ \cong }{ S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {reelle Lie-Gruppe}{}{.}
}{Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$,
\mathl{\operatorname{Tor}_{ m } { \left( E(\R) \right) }}{,} ist isomorph zu $\Z/(m)$ für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\R$, gegeben in
\definitionsverweis {kurzer Weierstraßform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{Das Polynom
\mathl{X^3+aX+b}{} besitzt in $\R$ drei Nullstellen.
}{Die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $2$,
\mathl{\operatorname{Tor}_{ 2 } { \left( E(\R) \right) }}{,} ist
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu $\Z/(2) \times \Z/(2)$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E(R)
}
{ \cong }{ S^1 \times \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {reelle Lie-Gruppe}{}{.}
}{Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$,
\mathl{\operatorname{Tor}_{ m } { \left( E(\R) \right) }}{,} ist isomorph zu $\Z/(m) \times \Z/(2)$ für alle geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {und isomorph zu $\Z/(m)$ für $m$ ungerade} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\R$, gegeben in
\definitionsverweis {kurzer Weierstraßform}{}{}
und
\definitionsverweis {Zerlegungsform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ = }{ (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X- \lambda_3)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ < }{ \lambda_2
}
{ < }{ \lambda_3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Begünde durch eine Skizze, dass
\mathl{( \lambda_3,0)}{} einen Halbierungspunkt besitzt und dass
\mathkor {} {( \lambda_1,0)} {und} {( \lambda_2,0)} {}
keinen Halbierungspunkt besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3+X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die reelle und die komplexe
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $2$ für die
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Q[ \sqrt[3]{2} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Q[ \sqrt[3]{2} , \sqrt{-3} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3+7X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
$E$ den kleinsten
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
$K$, für den die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $2$ von $E(K)$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu $\Z/(2) \times \Z/(2)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem Körper $K$, die durch eine affine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+aX+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
in einer Variablen über $K$. Es sei
\mathl{(t,u)}{} ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \supseteq }{K(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{(t,u)}{} in $E_{L}$ unendliche Ordnung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{,} sei $\ell$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Tate-Modul}{}{} in natürlicher Weise ein $\hat{ \Z}_\ell$-\definitionsverweis {Modul}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Tate-Modul}{}{}
von $\Q/\Z$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_\ell (\Q/\Z )
}
{ =} { \hat{\Z}_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\ell$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Berechne den \definitionsverweis {Tate-Modul}{}{} $T_\ell (S^1)$ zur \definitionsverweis {Kreisgruppe}{}{} $S^1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ {\mathbb C}/\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {komplexe Torus}{}{.}
Es sei $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass unter den natürlichen Identifizierungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma/ \ell^n \Gamma
}
{ \cong} { \operatorname{Tor}_{ \ell^n } { \left( E \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{[g] \mapsto { \frac{ 1 }{ \ell^n } } [g]}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Aufgabe 18.12} {} {}
die Diagramme
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma/ \ell^{n+1} \Gamma & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma/ \ell^n \Gamma & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Tor}_{ \ell^{n+1} } { \left( E \right) } & \stackrel{ \cdot \ell }{\longrightarrow} & \operatorname{Tor}_{ \ell^n } { \left( E \right) } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell^{n+1} \Gamma
}
{ \subseteq }{\ell^{n} \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht. Man folgere, dass der
\definitionsverweis {Tate-Modul}{}{}
$T_\ell (E)$ kanonisch
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\varprojlim_{n \in \N} \Gamma/ \ell^n \Gamma}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ {\mathbb C}/\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {komplexe Torus}{}{.}
Es sei $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass ein Isomorphismus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \cong }{ \Z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Isomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_\ell (E)
}
{ \cong} { \hat{\Z}_\ell \times \hat{\Z}_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1,\Gamma_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_1
}
{ = }{ {\mathbb C}/\Gamma_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_2
}
{ = }{ {\mathbb C}/\Gamma_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die zugehörigen
\definitionsverweis {komplexen Tori}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s \Gamma_1
}
{ \subseteq }{ \Gamma_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {E_1} {E_2
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Lemma 10.7} {} {.}
Es sei $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der
\definitionsverweis {Tate-Moduln}{}{}
\maabbdisp {\varphi_\ell} { T_\ell(E_1)} { T_\ell(E_2)
} {}
\zusatzklammer {siehe
Satz 18.13} {} {}
unter den kanonischen Isomorphismen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_\ell (E_1)
}
{ \cong }{ \varprojlim_{n \in \N} \Gamma_1/ \ell^n \Gamma_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_\ell (E_2)
}
{ \cong }{ \varprojlim_{n \in \N} \Gamma_2/ \ell^n \Gamma_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
Aufgabe 18.25
mit dem projektiven Limes zu
\maabb {s} { \Gamma_1 / \ell^n \Gamma_1} {\Gamma_2 / \ell^n \Gamma_2
} {}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ {\mathbb C}/\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {komplexe Torus}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s \Gamma
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {E} {E
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Isogenie}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $\varphi$ mit der Determinante von
\maabbdisp {s} {\Gamma} {\Gamma
} {}
und mit der Determinante des zugehörigen Endomorphismus des
\definitionsverweis {Tate-Moduls}{}{}
\maabbdisp {\varphi_\ell} { T_\ell(E)} { T_\ell(E)
} {}
für jede
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$\ell$ übereinstimmt.
}
{} {}