Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve}
Zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die zugehörige elliptische Kurve
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} eine Gruppe, die als
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
isomorph zu
\mathl{S^1 \times S^1}{.} Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über ${\mathbb C}$ untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ =} { \R/\Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
versteht. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^1$ genau dann das Nullelement, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^1$ genau dann ein Torsionselement, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ { \frac{ m }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine gekürzte Darstellung ist, dann ist $n$ die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von
\mathl{[r]}{} in $S^1$. Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist $n$ ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die verschiedenen Elemente
\mathl{[{ \frac{ 0 }{ n } }], [{ \frac{ 1 }{ n } }], [{ \frac{ 2 }{ n } }] , \ldots , [{ \frac{ n-1 }{ n } }]}{} diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von $n$ ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus $n$ Elementen besteht, und isomorph zur
\definitionsverweis {zyklischen Gruppe}{}{}
$\Z/(n)$ ist.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Gitter/Torsionsuntergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Tor}_{ n } { \left( {\mathbb C}/\Gamma \right) }}{} zur Ordnung $n$ des
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
${\mathbb C}/\Gamma$ isomorph zu
\mathl{\Z/(n) \times \Z/(n)}{} und besteht aus $n^2$ Elementen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} /\Gamma
}
{ \cong }{ S^1 \times S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \langle w_1,w_2 \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die Torsionsuntergruppe
\mathl{\operatorname{Tor}_{ n } { \left( {\mathbb C}/\Gamma \right) }}{} explizit als
\mathbed {[{ \frac{ i }{ n } } w_1 + { \frac{ j }{ n } } w_2 ]} {}
{0 \leq i,j \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
angeben.
Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper $K$ definiert ist, so ist die Menge der $K$-Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der $L$-Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E(K)
}
{ \subseteq} {E(L)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über $L$ als über $K$.
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$ mit der affinen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{ h(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem kubischen Polynom $h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.}
\faktfolgerung {Dann sind die Punkte der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$2$ die Punkte
\mathl{(a,0,1)}{,} wobei $a$ die Nullstellen von $h$ durchläuft.
Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Tor}_{ 2 } { \left( E (K) \right) } \right) }
}
{ \leq} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Tor}_{ 2 } { \left( E (K) \right) }
}
{ \cong }{ \Z/(2) \times \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P+P
}
{ =} { {\mathfrak O }
}
{ =} { (0,1,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bedeutet, dass die Tangente durch $P$ durch ${\mathfrak O }$ verläuft. Die Geraden durch ${\mathfrak O }$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Die
\zusatzklammer {Richtung der} {} {}
Tangente zu
\mathl{(a,b)}{} ist nach
Bemerkung 2.4
als Kern von
\mathl{\left( h'(a) , \, 2b \right)}{} gegeben, also durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h'(a) X -2bY
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Übereinstimmung gibt es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass $a$ eine Nullstelle von $h$ ist.
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$.}
\faktvoraussetzung {Es sei $n$ teilerfremd zur
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $K$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{}
zur Ordnung $n$ die
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Tor}_{ n } { \left( E (K) \right) }
}
{ \cong} { \Z/(n) \times \Z/(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Tor}_{ n } { \left( E (K) \right) } \right) }
}
{ \leq} {n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung
\maabbeledisp {[n]} {E} {E
} {P} {nP
} {,}
ist eine Isogenie und besitzt nach
Satz 14.2
den Grad $n^2$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus $n^2$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach
Korollar 16.10
separabel und daher besteht ihr Kern nach
Korollar 15.11
aus $n^2$ Elementen. Da der Kern eine kommutative $n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach
Aufgabe 18.6
um
\mathl{\Z/(n) \times \Z/(n)}{} handeln.
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Körper/Torsionsuntergruppen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{}
zur Ordnung $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Tor}_{ n } { \left( E (K) \right) } \right) }
}
{ \leq} {n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 18.3, indem man die elliptische Kurve über ${ \overline{ K } }$ betrachtet.
Wenn $E$ über einem Körper $K$ definiert, so muss man zwischen den über $K$ und den über ${ \overline{ K } }$ definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss von $K$ gewonnenen $n$-Torsionspunkte mit $E[n]$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E[n]
}
{ =} { \operatorname{Tor}_{ n } { \left( E ({ \overline{ K } }) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Elliptic_curve_y^2_%3D_x^3_-_x.svg} }
\end{center}
\bildtext {Das reelle Bild der Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{ x^3 - x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}} }
\bildlizenz { Elliptic_curve_y^2_%3D_x^3_-_x.svg } {} {YassineMrabet} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{x^3-x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
gibt es über $\Q$ nur die vier Punkte
\mathl{(0,0),\, (1,0), \, (-1,0),\, {\mathfrak O }}{,} die
\definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{}
sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper $\Q[ { \mathrm i} ]$ betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist
\mathl{({ \mathrm i} , -1 + { \mathrm i} )}{} ein weiterer Punkt, es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( -1 + { \mathrm i} \right) }^2
}
{ =} { -2 { \mathrm i}
}
{ =} { { \mathrm i}^3 - { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner ergibt sich der Punkt
\mathl{( - { \mathrm i} , 1+ { \mathrm i} )}{,} und zwei weitere Punkte, da man $y$ durch $-y$ ersetzen kann.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Dann nennt man den \definitionsverweis {Rang}{}{} der kommutativen Gruppe $E(K)$ den \definitionswort {Rang}{} von $E$.
}
\inputbeispiel{}
{
Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ = }{ x^3-2x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
gibt es über $\Q$ die beiden
\definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{}
\mathl{(0,0) ,\, {\mathfrak O }}{.} Daneben gibt es noch den Punkt
\mathl{(-1,1)}{,} dieser ist kein Torsionspunkt.
}
Die beiden folgenden elliptische Kurven über $\Q$ besitzen eine vergleichsweise große Torsionsgruppe.
\inputbeispiel{}
{
Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ = }{ x^3+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
gibt es über $\Q$ die sechs
\definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{}
\mathl{{\mathfrak O } ,\,(-1,0) ,\,(0,1) ,\, (0,-1) ,\,(2,3) ,\, (2,-3)}{.} Dabei hat
\mathl{(-1,0)}{} nach
Lemma 18.2
die Ordnung $2$ und es gibt
\zusatzklammer {über $\Q$ und über $\R$} {} {}
keinen weiteren Punkt mit Ordnung $2$. In
Aufgabe 6.3
haben wir gesehen, dass
\mathkor {} {(0,1)} {und} {(0,-1)} {}
zueinander negative Elemente der Ordnung $3$ sind. In
Beispiel 6.6
haben wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0,1) + (2,3)
}
{ = }{ (-1,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
berechnet. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,3)
}
{ =} { (-1,0) - (0,1)
}
{ =} { (-1,0) + (0,1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher besitzen
\mathkor {} {(2,3)} {und} {(2,-3)} {}
die Ordnung $6$.
}
\inputbeispiel{}
{
Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ = }{ x^3+4x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
gibt es über $\Q$ die vier
\definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{}
\mathl{{\mathfrak O } ,\,(0,0) ,\, (2,4) ,\, (2,-4)}{.} Dabei besitzt
\mathl{(0,0)}{} nach
Lemma 18.2
die Ordnung $2$ und sonst über $\Q$
\zusatzklammer {und $\R$} {} {}
keinen weiteren Punkt der Ordnung $2$. Die Punkte
\mathkor {} {(2,4)} {und} {(2,-4)} {}
haben nach
Aufgabe 6.5
die Ordung $4$.
}
\zwischenueberschrift{Der Tate-Modul}
Da man bei einer elliptischen Kurve $E$ zwischen den $m$-Torsionspunkten von $E(K)$ und denen von $E( { \overline{ K } } )$ unterscheiden muss, setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E[m]
}
{ =} { \operatorname{Tor}_{ m } { \left( E({ \overline{ K } }) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da wir die folgende Konstruktion insbesondere auf $E({ \overline{ K } })$, setzen wir für eine kommutative Gruppe $G$ bereits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G[m]
}
{ =} { \operatorname{Tor}_{ m } { \left( G \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{}
$G[ \ell^n]$ zur Ordnung $\ell^n$ stehen zueinander in der Beziehung
\maabbeledisp {} { G[ \ell^{n+1}] } { G[ \ell^{n}]
} { g} { \ell g
} {,}
da ja aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell^{n+1} g
}
{ =} { \ell^n ( \ell g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
folgt, dass ein Element der Ordnung $\ell^{n+1}$ unter Multiplikation mit $\ell$ auf ein Element der Ordnung $\ell^n$ abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System
\mathdisp {G[ \ell^{n+1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^n] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{n-1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} \ldots \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^2] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{0}] = \{0\}} { }
vor. Über dieses System kann man den
\definitionsverweis {projektiven Limes}{}{}
bilden. Er besteht aus Folgen
\mathl{{ \left( g_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_n
}
{ \in }{ G[ \ell^{n}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell g_{n+1}
}
{ = }{ g_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem $\ell^n$ auch Torsionselemente gibt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Unter dem $\ell$-adischen
\definitionswort {Tate-Modul}{}
von $G$ versteht man die Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_\ell (G)
}
{ =} { \varprojlim_{n \in \N} G[ \ell^n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{G[ \ell^n ]}{} die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
der Ordnung $\ell^n$ bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{}
und sei $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
induziert einen Homomorphismus
\maabbdisp {\varphi_\ell} { T_\ell(G)} { T_\ell(H)
} {}
der zugehörigen $\ell$-adischen
\definitionsverweis {Tate-Moduln}{}{.}
}{Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ } { \left( G , H \right) } } { \operatorname{Hom}_{ } { \left( T_\ell(G) , T_\ell(H) \right) }
} { \varphi} { \varphi_\ell
} {,}
vor.
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( G \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( T_\ell(G) \right) }
} { \varphi} { \varphi_\ell
} {,}
ist ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
des
\definitionsverweis {Endomorphismenringes}{}{}
von $G$ in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt ein Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {G[ \ell^n] } {H[ \ell^n]
} {}
vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} G[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \cdot \ell }{\longrightarrow} & G[ \ell^n] & \\ \!\!\!\!\! \varphi \downarrow & & \downarrow \varphi \!\!\!\!\! & \\ H[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \ell }{\longrightarrow} & H[ \ell^n] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.
Nach
Aufgabe 18.22
ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung $\hat{ \Z}_\ell$ von $\Z_{(\ell)}$ und
der Homomorphismus aus
Lemma 18.11 (1)
ist ein
$\hat{ \Z}_\ell$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Für eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von $K$.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$\ell$ versteht man unter dem $\ell$-adischen
\definitionswort {Tate-Modul}{}
den
\definitionsverweis {projektiven Limes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_\ell (E)
}
{ =} { \varprojlim_{n \in \N} E[ \ell^n ]
}
{ =} {\varprojlim_{n \in \N} \operatorname{Tor}_{ \ell^n } { \left( E({ \overline{ K } } ) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Man bezeichnet hier die Primzahl mit $\ell$, da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn $\ell$ nicht die Charakteristik ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E[ \ell^n]
}
{ \cong} { \Z/(\ell^n) \times \Z/(\ell^n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Satz 18.3.
Unter den natürlichen Abbildungen
\maabbdisp {\ell} { E[ \ell^{n+1}] \cong \Z/(\ell^{n+1}) \times \Z/(\ell^{n+1} )} {E[ \ell^n] \cong \Z/(\ell^n) \times \Z/(\ell^n)
} {}
wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie
\mathdisp {\longrightarrow \Z/(\ell^3) \longrightarrow \Z/(\ell^2) \longrightarrow \Z/(\ell) \longrightarrow 0} { , }
wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die $\ell$-adische
\definitionsverweis {Komplettierung}{}{}
des
\definitionsverweis {lokalen Ringes}{}{}
$\Z_{ (\ell)}$ am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
$(\ell)$. Diese wird mit $\hat{ \Z}_\ell$ bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_\ell(E)
}
{ \cong} { \hat{ \Z}_\ell \times \hat{ \Z}_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Fall eines
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
${\mathbb C}/\Gamma$ zu einem
\definitionsverweis {komplexen Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es aber eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_\ell(E)
}
{ \cong} { \varprojlim_{n \in \N} \Gamma/ \ell^n \Gamma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen
\mathbed {\ell^n \Gamma} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
siehe
Aufgabe 18.12
und
Aufgabe 18.25.
Da das Gitter aufgrund von
Satz 8.11
die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als
\zusatzklammer {$\ell$-adische} {} {}
Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {}
\definitionsverweis {elliptische Kurven}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Eine
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {E_1} {E_2
} {}
definiert einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi_\ell} { T_\ell(E_1)} { T_\ell(E_2)
} {.}
}{Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( E_1 , E_2 \right) } } { \operatorname{Hom}_{ } { \left( T_\ell(E_1) , T_\ell(E_2) \right) }
} { \varphi} { \varphi_\ell
} {,}
vor.
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ K } { \left( E \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( T_\ell(E) \right) }
} { \varphi} { \varphi_\ell
} {,}
ist ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
des
\definitionsverweis {Endomorphismenringes}{}{}
einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 18.11.
Die Multiplikation mit $m$ auf der elliptischen Kurve $E$ definiert die Multiplikation mit $m$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E[\ell^n]
}
{ \cong} { \Z/(\ell^n) \times \Z/(\ell^n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $m$ ein Vielfaches von $\ell^n$ ist, so handelt es sich um die Nullabbildung. Für $n$ hinreichend groß ist dies aber ausgeschlossen und somit induziert die Multiplikation auf dem Tate-Modul $T_\ell (E)$ die Multiplikation mit $m$. Deren Determinante ist $m^2$ und stimmt mit dem Grad der Multiplikation überein. Dieser Sachverhalt gilt für sämtliche Isogenien, was wir ohne Beweis mitteilen. Für den Fall einer elliptischen Kurve über ${\mathbb C}$ siehe
Aufgabe 18.28.
\inputfakt{Elliptische Kurve/Isogenie/Tate-Modul/Determinante/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, es sei
\maabbdisp {\varphi} {E} {E
} {}
eine
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
und es sei $\ell$ eine von der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $K$ verschiedene
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi_\ell} {T_\ell(E)} {T_\ell(E)
} {}
die induzierte $\Z_\ell$-lineare Abbildung auf dem $\ell$-adischen
\definitionsverweis {Tate-Modul}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( \varphi_\ell \right)
}
{ =} { \operatorname{Grad} \, ( \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( \varphi_\ell \right) }
}
{ =} { 1 + \operatorname{Grad} \, ( \varphi) - \operatorname{Grad} \, (
\operatorname{Id}_{ E } - \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $\varphi_\ell$ ist
\mathdisp {T^2 -(1 + \operatorname{Grad} \, ( \varphi) - \operatorname{Grad} \, (
\operatorname{Id}_{ E } - \varphi))T + \operatorname{Grad} \, ( \varphi)} { . }
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Es ist zu betonen, dass die Daten der linearen Algebra unabhängig von $\ell$ sind und dass sie in $\Z$ liegen.
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Absolute Galoisgruppe/Darstellung auf Tate-Modul/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ { \overline{ K } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {algebraischer Abschluss}{}{}
von $K$ und $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $K$. Es sei $G_{ { \overline{ K } } {{|}} K }$ die
\definitionsverweis {absolute Galoisgruppe}{}{}
von $K$ und sei $\ell$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { G_{ { \overline{ K } } {{|}} K } } { \operatorname{Aut} \, T_\ell(E)
} {\sigma} { { \left( { \left( P_n \right) }_{n \in \N } \mapsto { \left( \sigma(P_n) \right) }_{ n \in \N } \right) }
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabb {\sigma} { { \overline{ K } } } { { \overline{ K } }
} {}
ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{.}
Dieser induziert einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {E( { \overline{ K } })} { E( { \overline{ K } })
} {P} { \sigma(P)
} {,}
wobei einfach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (x,y,z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma(P)
}
{ = }{ (\sigma(x), \sigma(y), \sigma(z))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus $K$ definiert ist, und somit induziert $\sigma$ einen Gruppenautomorphismus auf $E[ \ell^n]$. Dabei liegen kommutative Diagramme
\mathdisp {\begin{matrix} E[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \cdot \ell }{\longrightarrow} & E[ \ell^n] & \\ \!\!\!\!\! \sigma \downarrow & & \downarrow \sigma \!\!\!\!\! & \\ E[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \ell }{\longrightarrow} & E[ \ell^n] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.