Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Die Zeta-Funktion}
Es sei $X$ eine Varietät, die über dem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
${\mathbb F}_{ q }$ mit $q$ Elementen definiert sei. Diese Varietät besitzt endlich viele Punkte, die über ${\mathbb F}_{ q }$ definiert sind. Nennen wir diese Anzahl $N_1$. Aufgrund der Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q^r }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {siehe
Korollar 16.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))} {} {}
kann man $X$ auch über ${\mathbb F}_{ q^r }$ auffassen und dessen Punkteanzahl, nennen wir sie $N_r$, bestimmen. Wenn $X$ in einem affinen oder projektiven Raum durch Gleichungen beschrieben wird, so kann man direkt die Gleichungen über ${\mathbb F}_{ q^r }$ auffassen und die Punkte zählen, deren Koordinaten zu ${\mathbb F}_{ q^r }$ gehören. Wenn $X$ nicht eingebettet vorliegt, so muss man
\mathl{X \times_{ {\mathbb F}_{ q } } {\mathbb F}_{ q^r }}{} betrachten und dort die Anzahl der Punkte mit Restekörper ${\mathbb F}_{ q^r }$ bestimmen. Eine faszinierende Frage ist nun, ob es bei den Anzahlen
\mathl{N_1,N_2, \ldots}{} Gesetzmäßigkeiten gibt, und wie diese mit weiteren Eigenschaften von $X$ zusammenhängen. Die Suche nach diesen Gesetzmäßigkeiten war eine treibende Kraft in der Entwicklung der algebraischen Geometrie in der zweiten Hälfte des 20.sten Jahrhunderts
\zusatzklammer {Weil, Grothendieck, Deligne} {} {.}
Es ist auf den ersten Blick überraschend, dass die folgende formale Funktion der richtige Ansatz ist, die Teilinformationen der $N_r$ in ein einziges analytisches
\zusatzklammer {funktionentheoretisches} {} {}
Objekt zusammenzufassen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {Varietät}{}{}
über einem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
${\mathbb F}_{ q }$ und es bezeichne $N_r$ die Anzahl der Punkte von $X( {\mathbb F}_{ q^r })$.
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t)
}
{ =} { Z(X;t)
}
{ =} { \exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Zeta-Funktion}{}
von $X$.
}
Genauer spricht man von der Weilschen Zeta-Funktion. Formal handelt es sich einfach um eine Potenzreihe in $t$ mit rationalen Koeffizienten. Aufgrund der Definition der Exponentialreihe handelt es sich um die Reihe
\mathdisp {1 + { \left( N_1t + N_2 { \frac{ t^2 }{ 2 } } + N_3 { \frac{ t^3 }{ 3 } } + \ldots \right) } + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( N_1t + N_2 { \frac{ t^2 }{ 2 } } + N_3 { \frac{ t^3 }{ 3 } } + \ldots \right) }^2+ { \frac{ 1 }{ 6 } } { \left( N_1t + N_2 { \frac{ t^2 }{ 2 } } + N_3 { \frac{ t^3 }{ 3 } } + \ldots \right) }^3 + \ldots} { . }
\inputbeispiel{}
{
Der $n$-dimensionale
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{ {\mathbb F}_{ q } }}{} über dem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} besitzt
\mathl{1+q+q^2 + \cdots + q^n}{} Elemente, siehe
Aufgabe 3.11,
somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N_r
}
{ =} { 1+q^r+q^{2r} + \cdots + q^{rn}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (1-t)(1-qt)(1-q^2t) \cdots (1-q^nt) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bestätigt man, indem man beidseitig den
\definitionsverweis {Logarithmus}{}{}
anwendet. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } }
}
{ =} { \sum_{ r = 1}^\infty ( 1+q^r+q^{2r} + \cdots + q^{rn} ) { \frac{ t^r }{ r } }
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n \ln { \frac{ 1 }{ 1-q^it } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Mit der
\definitionsverweis {Logarithmusreihe}{}{}
ist aber für jedes $i$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln { \frac{ 1 }{ 1 -q^i t } }
}
{ =} { - \ln \left( 1 -q^i t \right)
}
{ =} { - \sum_{r = 1}^\infty (-1)^{r+1} { \frac{ (-q^i t)^r }{ r } }
}
{ =} { \sum_{r = 1}^\infty q^{ir} { \frac{ t^r }{ r } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Das Ergebnis im vorstehenden Beispiel ist typisch und zeigt bereits die Stärke und Prägnanz der Zeta-Funktion: Sie ist für eine glatte projektive Varietät $X$ stets eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
in $t$. Wenn $n$ die Dimension von $X$ ist, so gibt es ganzzahlige Polynome $P_i(t)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{i
}
{ \leq }{2n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z(t)
}
{ =} { { \frac{ P_1(t) \cdot P_3(t)\cdot P_5(t) \cdots P_{2n-1} (t) }{ P_0(t) \cdot P_2(t)\cdot P_4(t) \cdots P_{2n} (t) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese starke Aussage beinhaltet insbesondere die keineswegs selbstverständliche Aussage, dass endlich viele der Anzahlen $N_r$ bereits alle Anzahlen bestimmen.
In die Zeta-Funktion zu einer Varietät über ${\mathbb F}_{ q }$ wird für $t$ oft $q^{-s}$ eingesetzt, wobei $s$ eine komplexe Variable \zusatzklammer {typischerweise mit einer Beschränkung durch den Realteil} {} {} ist, wodurch dann eine Funktion in $s$ entsteht.
\zwischenueberschrift{Die Zeta-Funktion einer elliptischen Kurve}
Im Falle einer glatten projektiven Kurve hat die Zeta-Funktion die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t)
}
{ =} { { \frac{ P_1(t) }{ (1-t)(1-qt) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das Zählerpolynom $P_1(t)$ ist ein Polynom vom Grad $2g$, wenn $g$ das Geschlecht der Kurve bezeichnet. Im Fall einer elliptischen Kurve werden wir dieses Zählerpolynom vom Grad $2$ bestimmen.
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über dem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
${\mathbb F}_{ q }$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_1
}
{ = }{ { \# \left( E({\mathbb F}_{ q }) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $\ell$ eine von der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von ${\mathbb F}_{ q }$ verschiedene
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\Phi} {E_{ \overline{ K } }} {E_{ \overline{ K } }
} {}
der $e$-te
${ \overline{ K } }$-\definitionsverweis {lineare Frobenius}{}{}
auf $E_{ \overline{ K } }$ und
\maabb {\Phi_\ell} { T_\ell(E) } {T_\ell(E)
} {}
die zugehörige Abbildung auf dem $\ell$-adischen
\definitionsverweis {Tate-Modul}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $\Phi_\ell$ ist
\mathdisp {T^2 -( q+1-N_1 ) T +q} { . }
}{Dieses Polynom ist als reelles Polynom nichtnegativ.
}{Die komplexen Nullstellen
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
des charakteristischen Polynoms sind zueinander komplex-konjugiert und ihr Betrag ist $\sqrt{q}$.
}{Das charakteristische Polynom von $\Phi_\ell^n$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(T- \alpha^n)(T- \beta^n)
}
{ =} { T^2 - (\alpha^n+ \beta^n) T + \alpha^n\beta^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb F}_{ q^n }$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^n } ) \right) }
}
{ =} { q^n+1 - \alpha^n - \beta^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Wir ziehen
Satz 18.14
heran. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( \Phi_\ell \right)
}
{ =} { \operatorname{Grad} \, (\Phi)
}
{ =} { q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 23.1.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( \Phi_\ell \right) }
}
{ =} { 1 + \operatorname{Grad} \, (\Phi) - \operatorname{Grad} \, (
\operatorname{Id}_{ E } - \Phi)
}
{ =} { 1 + q - N_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter Verwendung von
Lemma 23.6.
Daraus ergibt sich das charakteristische Polynom von $\Phi_\ell$ zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T^2 -(q+1-N_1)T +q
}
{ =} { T^2 +(N_1-q-1)T +q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Nichtnegativität des Polynoms kann man wegen der Stetigkeit mit rationalen Zahlen testen. Es sei also ${ \frac{ r }{ s } }$ eine rationale Zahl. Der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ${ \frac{ r }{ s } }$ ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \left( T
\operatorname{Id}_{ T_\ell(E) }- \Phi_\ell \right) ({ \frac{ r }{ s } })
}
{ =} { \det \left( { \frac{ r }{ s } }
\operatorname{Id}_{ T_\ell(E) }- \Phi_\ell \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ s^2 } } \det \left( r
\operatorname{Id}_{ T_\ell(E) }-s \Phi_\ell \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ s^2 } } \operatorname{Grad} \, ( [r] -s \Phi )
}
{ \geq} {0
}
}
{}
{}{.}
}{Nach (2) besitzt das charakteristische Polynom entweder eine doppelte reelle Nullstelle oder zwei nicht reelle zueinander komplex-konjugierte Nullstellen. So oder so ist ihr Betrag gleich, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha \beta
}
{ =} { q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \alpha }
}
{ = }{ \betrag { \beta }
}
{ = }{ \sqrt{q}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das charakteristische Polynom zu $\Phi_\ell$ kann man über ${\mathbb C}$ als
\mathl{(X-\alpha)(T- \beta)}{} schreiben. Eine solche Zerlegung hat man auch über dem algebraischen Abschluss von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q( \hat{\Z}_\ell)
}
{ =} { \Q_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw. schon in einer quadratischen Erweiterung von $\Q_\ell$} {} {.}
Dabei sind $\alpha, \beta$
\zusatzklammer {genauer $\alpha_\ell, \beta_\ell$} {} {}
die Eigenwerte von $\Phi_\ell$. Somit sind $\alpha^n, \beta^n$ die Eigenwerte von $\Phi_\ell^n$ und das charakteristische Polynom zu $\Phi_\ell^n$ ist
\mathl{(T- \alpha^n) (T- \beta^n)}{.} Die entstehenden Polynome haben wieder ganzzahlige Koeffizienten, daher ist es egal, ob man über ${\mathbb C}$ oder über
\mathl{{ \overline{ \Q_\ell } }}{} arbeitet.
}{Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb F}_{ q^n }$ ist unter Verwendung von
Lemma 23.6
und
Satz 18.14
gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^n } ) \right) }
}
{ =} { \operatorname{Grad} \, (
\operatorname{Id}_{ E } - \Phi^n )
}
{ =} { \det \left(
\operatorname{Id}_{ T_\ell(E) } - \Phi_\ell^n \right)
}
{ =} { 1+ \det \left( \Phi_\ell^n \right) -\operatorname{Spur} { \left( \Phi_\ell^n \right) }
}
{ =} { 1+q^n- \alpha^n - \beta^n
}
}
{}
{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über dem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
${\mathbb F}_{ q }$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N_1
}
{ = }{ { \# \left( E({\mathbb F}_{ q }) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(E;t)
}
{ =} { { \frac{ 1+ (N_1 -q-1) t+qt^2 }{ (1-t)(1-qt) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten den Ausdruck
\mathl{\sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } }}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N_r
}
{ =} { { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^r }) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichne. Nach
Satz 24.3 (5)
wissen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N_r
}
{ =} { 1+q^r - \alpha^r- \beta^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu $\Phi_\ell$ sind
\zusatzklammer {für eine zur Charakteristik teilerfremde Primzahl $\ell$} {} {.}
Es ist also
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } }
}
{ =} { \sum_{ r = 1}^\infty { \left( 1+q^r - \alpha^r- \beta^r \right) } { \frac{ t^r }{ r } }
}
{ =} { \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ t^r }{ r } } + \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ (qt)^r }{ r } }- \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ (\alpha t)^r }{ r } } - \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ (\beta t)^r }{ r } }
}
{ =} { - \ln \left( 1-t \right) - \ln \left( 1-qt \right) + \ln \left( 1-\alpha t \right) + \ln \left( 1-\beta t \right)
}
{ } {}
}
{}
{}{,}
wobei wir die
\definitionsverweis {Logarithmusreihe}{}{}
verwendet haben. Wenn wir auf diese Gleichung die Exponentialreihe anwenden, so erhalten wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ Z(E;t)
}
{ =} { \exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right)
}
{ =} { { \frac{ (1 - \alpha t)(1- \beta t) }{ (1-t)(1-qt) } }
}
{ =} { { \frac{ (1 - ( \alpha+ \beta )t + \alpha \beta t^2 }{ (1-t)(1-qt) } }
}
{ =} { { \frac{ (1 + (N_1-q-1 )t + q t^2 }{ (1-t)(1-qt) } }
}
}
{}
{}{,}
wobei wir im letzten Schritt die definierenden Eigenschaften von
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
und
Satz 24.3 (1)
verwendet haben.
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Funktionalgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über dem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
${\mathbb F}_{ q }$.}
\faktfolgerung {Dann erfüllt die
\definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
\mathl{Z(E;t)}{} von $E$ die Funktionalgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(E; { \frac{ 1 }{ q t } } )
}
{ =} { Z(E;t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich aus
Satz 24.4
durch die Umformungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ Z(E; { \frac{ 1 }{ q t } } )
}
{ =} { { \frac{ 1+ (N_1 -q-1) { \frac{ 1 }{ q t } } +q \left( \frac{ 1 }{ q t } \right)^2 }{ { \left( 1- { \frac{ 1 }{ q t } } \right) } { \left( 1-q { \frac{ 1 }{ q t } } \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( q t \right) }^2 + (N_1 -q-1) q t +q }{ { \left( q t- 1 \right) } { \left( q t-q \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ q { \left( 1 +(N_1 -q-1) t + q t^2 \right) } }{ q { \left( 1-t \right) } { \left( 1-q t \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ 1+ (N_1 -q-1) t+qt^2 }{ (1-t)(1-qt) } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { Z(E; t )
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten über dem endlichen Körper $\Z/(5)$ die
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
$E$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ =} { x^3+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Sie besitzt nach
Beispiel 23.11
sechs Elemente, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N_1
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das charakteristische Polynom der Darstellung des Frobenius auf dem
\definitionsverweis {Tate-Modul}{}{}
ist nach
Satz 24.3
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T^2 + 5
}
{ =} { (T- \sqrt{5} { \mathrm i} ) (T+ \sqrt{5} { \mathrm i} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta
}
{ = }{ \pm \sqrt{5} { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Notation von
Satz 24.3.
Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb F}_{ 5^n }$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^n } ) \right) }
}
{ =} { 5^n+1 - (- \sqrt{5})^n { \mathrm i}^n - \sqrt{5}^n { \mathrm i}^n
}
{ =} { 5^n+1 - ( (-1)^n+1 ) \sqrt{5}^n { \mathrm i}^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für $n$ ungerade ist also die Anzahl gleich
\mathl{5^n+1}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Anzahl gleich
\mathl{5^n+1 + 2 \cdot 5^{n/2}}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Anzahl gleich
\mathl{5^n+1 - 2 \cdot 5^{n/2}}{.} Für gerades $n$ wird also die
Hasse-Schranke
ausgeschöpft. Die
\definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
von $E$ ist nach
Satz 24.4
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(E;t)
}
{ =} { { \frac{ 1+ 5 t^2 }{ (1-t)(1-5t) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {ebene}{}{}
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V_+(F)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ \Z/(p) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^d
}
{ =} { P(Y,Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, wobei
\mathl{P(Y,Z)}{} ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$ sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ = }{ p^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Potenz der Charakteristik $p$. Wenn der Grad $d$ teilerfremd zu $q-1$ ist, so lässt sich die Anzahl
\mathl{{ \# \left( C( {\mathbb F}_{ q } ) \right) }}{} der Punkte der Kurve, die über ${\mathbb F}_{ q }$ definiert sind, einfach bestimmen. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y,z)
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein solcher Punkt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
können wir $z$ zu $1$ normieren. Für $y$ können wir jedes Element aus ${\mathbb F}_{ q }$ einsetzen. Aufgrund der vorausgesetzten Teilerfremdheit ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb F}_{ q } } { {\mathbb F}_{ q }
} { x } { x^d
} {,}
bijektiv, da diese Abbildung auf
\mathl{{\mathbb F}_{ q }^{\times}}{} der additiven Abbildung
\maabbeledisp {} { \Z/(q-1) } { \Z/(q-1)
} { v } { dv
} {,}
entspricht
\zusatzklammer {vergleiche
Aufgabe 17.16 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021))} {} {.}
Somit gehört zu $y$ genau ein Punkt der Kurve. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und man kann $y$ zu $1$ normieren und erhält einen weiteren Punkt der Kurve. Unter dieser Bedingung ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( C({\mathbb F}_{ q } ) \right) }
}
{ =} { q+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn aber $q-1$ nicht teilerfremd zu $d$ ist, wird die Bestimmung ungleich schwieriger, da man dann im Detail untersuchen muss, welche Zahlen
\mathl{P(y,1)}{} wie viele $d$-te Wurzeln in ${\mathbb F}_{ q }$ besitzen. Da im glatten Fall
\mathkor {} {p} {und} {d} {}
teilerfremd sind, ist $p$ eine Einheit modulo $d$ und somit gibt es Exponenten $e$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p^e
}
{ = }{ 1 \mod d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das heißt, dass $p^e-1$ und $d$ für gewisse Exponenten nicht teilerfremd sind, und daher
\zusatzklammer {außer bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
der schwierige Fall definitiv eintritt.
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $X$ eine glatte projektive Varietät über einem endlichen Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es sei $N_r$ die Anzahl der
${\mathbb F}_{ q^r }$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{}
Punkte von $X$ mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t)
}
{ =} { \exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
André Weil formulierte 1949 eine Reihe von Vermutungen über das Verhalten dieser Funktion und damit der Anzahlen $N_r$, die er selbst für Kurven bewies. Diese Vermutungen motivierten Alexander Grothendieck zur Einführung der étalen bzw. der $\ell$-adischen Kohomologie
\zusatzklammer {die Tate-Moduln kann man als $\ell$-adische Homologiegruppen ansehen} {} {,}
mit deren Hilfe 1973 Pierre Deligne letztlich die Vermutungen bestätigte. Die wichtigsten allgemeinen Resultate, die wir im elliptischen Fall gezeigt haben, sind die folgenden.
\aufzaehlungvier{Es gibt ganzzahlige Polynome $P_i(t)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{i
}
{ \leq }{2n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t)
}
{ =} { { \frac{ P_1(t) \cdot P_3(t)\cdot P_5(t) \cdots P_{2n-1} (t) }{ P_0(t) \cdot P_2(t)\cdot P_4(t) \cdots P_{2n} (t) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist die Zeta-Funktion eine rationale Funktion. Dies bedeutet, dass endlich viele der Werte $N_r$ schon alle Werte festlegen
\zusatzklammer {Dwork, Grothendieck} {} {.}
Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0(t)
}
{ = }{1-t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_{2n}(t)
}
{ = }{ 1-q^n t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für den elliptischen Fall siehe
Satz 24.4.
}{Die Grade der Polynome $P_i$ aus Teil (1) haben eine geometrische Bedeutung. Ihr Grad ist die Vektorraumdimension der $i$-ten $\ell$-adischen Kohomologie $H^i(X, \Q_\ell)$. Man spricht von den $\ell$-adischen Betti-Zah\-len. Wenn $X$ durch Reduktion modulo $p$ von einer Varietät
\zusatzklammer {Schema} {} {}
$\mathcal X$ über $\Z$
\zusatzklammer {oder einem Zahlbereich} {} {}
herrührt, so kann man auch die zugehörige Varietät über $\Q$ und über ${\mathbb C}$ betrachten. Diese Varietät hat
\zusatzklammer {als komplexe Mannigfaltigkeit} {} {}
topologische Betti-Zahlen, die man beispielsweise mit der singulären Kohomologie ausrechnen kann. Diese Betti-Zahlen stimmen mit den $\ell$-adischen Betti-Zahlen der Reduktion überein. Im Fall einer elliptischen Kurve sind die Betti-Zahlen gleich $1,2,1$.
}{Die Polynome $P_i$ aus Teil (1) besitzen über ${\mathbb C}$
\zusatzklammer {bzw. über einer geeigneten algebraischen Erweiterung von $\Q$} {} {}
eine Zerlegung in lineare Faktoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ =} { \prod_j (1 - \alpha_{ij} t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \alpha_{ij} }
}
{ =} { q^{i/2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Eigenschaft ist analog zur Riemannschen Hypothese. Für den elliptischen Fall siehe
Satz 24.3 (3)
}{Es gilt eine Funktionalgleichung für die Zeta-Funktion, die
Satz 24.5
verallgemeinert.
}
}