Satz von Heine-Borel

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Sei   ein metrischer Raum mit der Relativtopologie der Euklischen Topologie auf  . Die folgenden sind äquivalent.

  •   ist ein kompakter Raum.
  •   ist beschränkter und abgeschlossener Raum. (Satz von Heine-Borel)
  •   ist folgenkompakt; d.h. jede Folge in X hat eine konvergente Teilfolge.

Übung 1 - Einheitsintervall der rationalen Zahlen nicht kompakt

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Beweisen Sie, dass   nicht kompakt in   ist, indem Sie eine offene Abdeckung angeben, für die keine endliche Teilüberdeckung existiert.

Übung 2 - Isometrische Abbildungen bijektiv

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Sei   ein kompakter metrischer Raum mit Metrik  _und   sei eine Isometrie: d.h.,   gilt für alle  . Dann ist   auch eine bijektive Abbildung.

Satz von Tychonoff

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Jeder Produktraum einer nicht leeren Systems von kompakten Räume ist wiederum kompakt.


Übung 3

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Beweisen Sie Tychonoffs Theorem für ein endliches Produkt ohne Berufung auf das Auswahlaxiom (oder eine seiner Äquivalenzen).

Definition - kompakter topologischer Raum

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Sei   ein topologischer Raum.   heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von   eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Per Definition ist ein kompakter Raum ein Hausdorff-Raum.

Metrisierbarkeitssatz von Urysohn

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Wenn   ein kompakter Hausdorff-Raum ist, dann ist   metrisierbar.

Beweis - Metrisierungssatz

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Wir definieren nun eine Abbildung   durch

 

Dann erhält man   mit   für jedes  , was wiederum   durch die Hausdorff-Eigenschaft impliziert. Auch das Umgekehrte gilt. Da  , ist   dann eine Metrik. Sei   die Topologie für  , die durch   induziert wird. Wir behaupten, dass   mit der ursprünglich für   gegebenen Topologie übereinstimmt. Wir betrachten den Sachverhalt unter der Verwendung des folgenden Hilfssatzes:

Sei   eine Menge und   jeweils Topologien auf   (System von offenen Mengen). Wenn   für die Topologien auf   gilt und   ein Hausdorff-Raum ist und   kompakt ist, dann ist  .

Hierbei genügt es zu zeigen, dass   in der ursprünglichen Topologie enthalten ist. Aber für jedes feste   ist   ein Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge. Daher muss auch   stetig sein. Folglich ist eine  -offene Kugel bzgl. der   mit dem Zentrum bei   auch offen in der ursprünglichen Topologie. Wenn jede offene Menge   auch offen in   ist (also  ) müssen auch die Topologien   und   übereinstimmen.

Aufgaben zum Abzählbarkeitsaxiom

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Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

Beweis - Abzählbarkeitsaxiom

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Der Beweis gliedert sich in zwei Teilaussagen, die analog zur Bezeichnung (A1) bzw. (A2) numeriert werden. Sei   ein topologischer Raum mit dem System   von offenen Mengen

Gegenbeispiel A1 - Abzählbarkeitsaxiom

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Da   das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, besitzt der Raum eine höchstens abzählbare Basis der Topologie. Ferner seien   mit   beliebig gewählt.

Gegenbeispiel A1.1 - Abzählbase Umgebungsbasis

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Damit besitzt   eine höchstens abzählbare Menge

 

von offenen Teilmengen, die zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis enthält, d.h., zu jedem Punkt   und jeder Umgebung   von   gibt es einen Index  , so dass   gilt.

Gegenbeispiel A1.2 - Konstruktion

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Sei   Raum mit zwei Elementen. Auf jedem Raum   kann man die chaotische Topologie mit   definieren. Diese erfüllt die Eigenschaften der Topologie (T1), (T2), (T3). Die Topologie ist endlich und damit abzählbar.

Gegenbeispiel A1.3 - Eigenschaften des Gegenbeispiels

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Wenn die Topologie abzählbar ist, so ist auch jede Basis der Topologie abzählbar.   erfüllt also das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Die einzigen Umgebung von   ist  . Ebenso besitzt auch   nur eine Umgebung   in  . Damit ist   kein Hausdorff-Raum und (A1) ist somit nicht korrekt.

Hinweis zu A2

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Sei   ein metrischer Raum. Betrachten einen beliebigen Punkt   und erzeugen Sie mit der Metrik   eine abzählbare Umgebungsbasis mit  .

Beweis zu A3

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Wählen in dem separable metrischen Raum   eine abzählbare dichte Teilmenge   in  .

Beweisschritt A3.1 - Wahl beliebiger Punkt

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Man wählt einen beliebigen Punkt   und eine beliebige Umgebung   von  . Da die Topologie von der Metrik   erzeugt wird, gibt es eine  -Kugel mit einem Radius   mit   gibt, mit

 

Beweisschritt A3.2 - Wahl einer Folge

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Da   dicht in   liegt, gibt es eine Folge   in   mit   für alle  , die in   gegen   konvergiert.

Beweisschritt A3.3 - Betrachtung der Umgebung

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Wenn die Folge   in   gegen   konvergiert, gibt es eine Indexschranke  , ab der für alle   alle Folgenglieder in der  -Kugel   der gegebenen Umgebung   liegen (  für alle  ). Der Wert   wird gewählt, damit man später mit der Dreiecksungleichung der Metrik in (A3.5) nach oben gegen   abschätzen kann.

Beweisschritt A3.4 - Abzählbare Umgebungsbasis

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In metrischen Räumen gibt es um jeden Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis, die durch  -Kugeln mit einem Radius   bzgl. der Metrik   erzeugt wird (mit  .

Beweisschritt A3.5 - Abzählbares Mengensystem aus offenen Mengen

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Ferner ist   ein abzählbares Mengensystem aus offenen Menger der Topologie von  . Von diesem Mengensystem zeigt man, dass es eine Basis der Topologie bildet.

Beweisschritt A3.5 - Schnitt von offenen Mengen offen

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Wegen   und   für alle   und   offen, ist   eine Umgebung von  . Damit gilt auch für alle  , dass

 

erfüllt ist und   liegt (also  ).

Beweisschritt A3.6 - Offene Menge aus abzählbaren Mengensystem gefunden

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Damit habt man ein Element des abzählbaren Mengensystem aus offenen Mengen   gefunden, das die Bedingung   sogar für alle   für eine beliebige gewählte offene Menge   und ein beliebiges   erfüllt.

Beweisschritt A3.7 - Abzählbare Umgebungsbasis

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Da   und   gilt, erhält man mit   eine abzählbare Basis der Topologie von  .

Bemerkung - Abzählbarkeitsaxiom

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Insbesondere ist ein kompakter metrischer Raum separabel.

Kategoriensatz von Baire

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Theorem  (Kategoriensatz von Baire). Ein vollständiger metrischer Raum ist keine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen mit dichtem Komplement.
Beweis. Siehe Satz von Baire.  


Wir weisen darauf hin, dass das Theorem auch für einen lokal kompakten Raum gilt, obwohl diese Version in der Fortsetzung nicht benötigt wird.

Übung: Benutzen Sie das Theorem, um zu beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Wählen Sie als Metrik die Betragsfunktion und stellen Sie dazu die Menge   als Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen mit dichtem Komplement dar.

Satz von Arzelà-Ascoli

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Theorem  (Ascoli). Seien   ein kompakter Raum sein und   der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Teilmenge   der stetigen von   von   nach   ist dann und nur dann kompakt, wenn sie begrenzt, geschlossen und gleichgradig stetig ist.
Beweis. Siehe Arzel-Ascoli Theorem - engl. oder Satz von Arzela-Ascoli.  


Siehe auch

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