Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das komplexe Quadrieren \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} in keiner \definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{} des Nullpunktes \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2 } {(x,y)} {(x+y,xy) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C}^2
} { (w,z)} { ( w^3-wz^2-z,wz-z^2)
} {.}
\aufzaehlungsechs{Berechne die komplexen
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.}
}{Erstelle die
\zusatzklammer {komplexe} {} {}
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{}
von $\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
}{Beschreibe $\varphi$ reell unter Verwendung der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ u+v { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ x+y { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegten reellen Koordinaten $u,v,x,y$.
}{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
}{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
}{Erstelle die reelle Jacobimatrix.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C}^2
} { (z,w) } { ( z+w^2 , zw-w^3 )
} {.}
Entscheide, ob $\varphi$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0, 0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {lokal umkehrbar}{}{}
ist, und bestimme gegebenfalls das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{\varphi(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2
} {(z,w)} {( \sin zw ,w e^{z-w})
} {.}
Entscheide, ob $\varphi$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1, \pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {lokal umkehrbar}{}{}
ist, und bestimme gegebenfalls das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{\varphi(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {U } { {\mathbb C}
} {}
\zusatzklammer {stetig} {} {}
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{}
und nicht konstant. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $f$ nicht auf einer
\zusatzklammer {reellen} {} {}
Geraden in ${\mathbb C}$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Korollar 3.8 mit Hilfe von Korollar 5.3.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einem \definitionsverweis {Polynom}{}{} \maabbdisp {P} {\R} {\R } {} nicht offen sein muss.
}
{} {}
Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} $X$ und $Y$ heißt \definitionswort {abgeschlossen}{,} wenn Bilder von \definitionsverweis {abgeschlossenen Mengen}{}{} wieder abgeschlossen sind.
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} \maabbdisp {f} { \R } { \R } {,} die nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{} Funktion \maabbdisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {,} die nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine Funktion, die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \left( \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die in
Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
angegebene Formel für die
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
einer
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ { \left\{ x+y { \mathrm i} \mid x,y>0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb H} } { {\mathbb C}
} { a+b { \mathrm i} } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a } \right) }
} {,}
die Abbildung aus
Beispiel 5.7.
Zeige, dass
\maabbdisp {\varphi \circ \psi} { {\mathbb H} } { {\mathbb H}
} {}
die Identität auf der oberen offenen Halbebene ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ { \left\{ x+y { \mathrm i} \mid x,y>0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb H} } { {\mathbb C}
} { a+b { \mathrm i} } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a } \right) }
} {,}
die Abbildung aus
Beispiel 5.7.
Zeige, dass
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { Q } { Q
} {}
die Identität auf dem offenen Quadranten ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle für das komplexe Quadrieren
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} {z^2
} {,}
die inverse reelle Jacobimatrix zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wie in
Bemerkung 5.6
beschrieben und bringe dies mit der expliziten Umkehrabbildung aus
Beispiel 5.7
in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ u+ { \mathrm i} v \mid u \neq 0 \right\} }
}
{ \subseteq} { {\mathbb C}
}
{ =} { \R^2
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\maabbeledisp {\psi} { U } { {\mathbb C}
} { u+ { \mathrm i} v} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( u^2+v^2 \right) + { \mathrm i} \arctan { \frac{ v }{ u } }
} {.}
\aufzaehlungvier{Begründe, dass $\psi$ stetig
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{}
zu $\psi$.
}{Zeige, dass $\psi$ die
\definitionsverweis {Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen}{}{}
erfüllt.
}{Zeige, dass $\psi$ lokal eine
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
zur
\definitionsverweis {komplexen Exponentialfunktion}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_{\geq 2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es auf keiner
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
der
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabbdisp {h} {V} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ h^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $V$ gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{8 (1+1+2+2+1+1)}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C}^2
} { (w,z)} { ( w^2+2wz-3z^2,wz+w-z^3)
} {.}
\aufzaehlungsechs{Berechne die komplexen
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.}
}{Erstelle die
\zusatzklammer {komplexe} {} {}
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{}
von $\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
}{Beschreibe $\varphi$ reell unter Verwendung der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ u+v { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ x+y { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegten reellen Koordinaten $u,v,x,y$.
}{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
}{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
}{Erstelle die reelle Jacobimatrix.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion derart, dass $f'(x)$ keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass $f$ eine \definitionsverweis {offene Abbildung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ { \left\{ a+b { \mathrm i} \mid b < 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbeledisp {\psi} { U} { {\mathbb C}
} { a+b { \mathrm i} } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } { \left( - \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a } \right) }
} {.}
Zeige, dass diese Abbildung stetig partiell differenzierbar ist und dass die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Beweise Satz 5.10 direkt mit Korollar 5.3.
}
{} {}