Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Eisensteinreihen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N_{\geq 3}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_k(\Gamma)
}
{ \defeq} { \sum_{ z \in \Gamma'} { \frac{ 1 }{ z^k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Eisensteinreihe}{}
zum Gitter $\Gamma$ und zum Gewicht $k$.
}
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N_{\geq 3}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann erfüllen die
\definitionsverweis {Eisensteinreihen}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Eisensteinreihen $G_k(\Gamma)$ sind für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{\langle u,v \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_k(\Gamma)
}
{ =} { \sum_{n,m \in \Z, (n,m) \neq (0,0) } { \frac{ 1 }{ { \left( nu+mv \right) }^k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für ungerades
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_k(\Gamma)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_k( s \Gamma)
}
{ =} {s^{-k} G_k(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungvier{Dies ist ein Spezialfall von
Lemma 27.7.
}{Das ist klar.
}{Es sei $k$ ungerade. Auf $\Gamma'$ ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes $z$ mit sich und mit $-z$ äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ G_k(\Gamma)
}
{ =} { \sum_{z \in \Gamma'} { \frac{ 1 }{ z^k } }
}
{ =} { \sum_{[z] \in \Gamma'/\pm} { \left( { \frac{ 1 }{ z^k } } + { \frac{ 1 }{ (-z)^k } } \right) }
}
{ =} { \sum_{[z] \in \Gamma'/\pm} { \left( { \frac{ 1 }{ z^k } } - { \frac{ 1 }{ z^k } } \right) }
}
{ =} { 0
}
}
{}
{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ G_k(s \Gamma)
}
{ =} { \sum_{w \in (s\Gamma) '} { \frac{ 1 }{ w^k } }
}
{ =} { \sum_{z \in \Gamma'} { \frac{ 1 }{ (sz)^k } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ s^k } } \sum_{z \in \Gamma'} { \frac{ 1 }{ z^k } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ s^k } } G_k( \Gamma)
}
}
{}
{}{.}
}
Die Eisensteinreihen sind Invarianten, die den Gittern zugeordnet sind. Allerdings haben streckungsäquivalente Gitter nicht die gleichen Werte für die Eisensteinreihen, sondern es liegt das in
Lemma 28.2 (4)
beschriebene Transformationsverhalten vor. Für ein Gitter mit einer Basis der Form
\mathl{1 , \tau}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_k(\Gamma)
}
{ =} { \sum_{(m,n) \neq (0,0)} { \frac{ 1 }{ (m + n \tau )^k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
insofern kann man eine Eisensteinreihe auch als abhängig vom Parameter $\tau$ und damit als Funktion auf ${\mathbb H}$ auffassen.
\zwischenueberschrift{Die $j$-Invariante}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Ausgehend von den
\definitionsverweis {Eisensteinreihen}{}{}
legt man weitere Invarianten zu $\Gamma$ fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig\zusatzklammer {er} {} {,}
wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{}
\zusatzklammer {siehe
Satz 12.14 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))} {} {}
berücksichtigt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_2
}
{ =} {g_2(\Gamma)
}
{ =} {60 G_4 (\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_3
}
{ =} {g_3(\Gamma)
}
{ =} {140 G_6 (\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $G_4$ und $G_6$ die Werte der
\definitionsverweis {Eisensteinreihen}{}{}
sind.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Delta(\Gamma)
}
{ \defeq} { g_2^3(\Gamma)-27g_3^2(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennen dies die
\definitionswort {Diskriminante}{}
des Gitters $\Gamma$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{j (\Gamma)
}
{ \defeq} { { \frac{ { \left( 12 g_2(\Gamma) \right) }^3 }{ \Delta(\Gamma) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {absolute Invariante}{}
oder die
\definitionswortpraemath {j}{ Invariante }{}
des Gitters $\Gamma$.
}
Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der $j$-Invarianten oder der universellen Invarianten.
\inputbemerkung
{}
{
Für ein Gitter der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z \tau \oplus \Z
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_2(\tau)
}
{ = }{g_2(\Gamma)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_3(\tau)
}
{ = }{g_3(\Gamma)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta(\tau)
}
{ = }{\Delta(\Gamma)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j(\tau)
}
{ = }{j(\Gamma)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Invarianten/Streckungsverhalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Für ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten die folgenden Regeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_2(s \Gamma)
}
{ =} { s^{-4} g_2(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_3(s \Gamma)
}
{ =} { s^{-6} g_3(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Delta (s \Gamma)
}
{ =} { s^{-12} \Delta(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ j(s \Gamma)
}
{ =} { j(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Lemma 28.2 (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.
Die Eigenschaft
Lemma 28.7 (4)
besagt, dass die $j$-Invariante von
\definitionsverweis {streckungsäquivalenten Gittern}{}{}
gleich ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\Z + \Z { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für das die Multiplikation mit ${ \mathrm i}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden
Lemma 28.7 (2)
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_3(\Gamma)
}
{ =} { g_3( { \mathrm i} \Gamma)
}
{ =} { { \mathrm i}^{-6} g_3(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_3(\Gamma)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \Z + \Z { \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für das die Multiplikation mit
\mathl{{ \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }}{} das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden
Lemma 28.7 (1)
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_2(\Gamma)
}
{ =} { g_2 { \left( \left( \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } \right) \Gamma \right) }
}
{ =} { \left( \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } \right)^{-4} g_2(\Gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_2(\Gamma)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Die Differentialgleichung für die Weierstraßfunktion}
Mit Hilfe der Eisensteinreihen können wir die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen Funktion $\wp$ beschreiben.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Laurent-Entwicklung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Laurent-Entwicklung}{}{}
der
\definitionsverweis {Weierstraßschen}{}{}
$\wp$-Funktion $\wp$ im Nullpunkt ist}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \wp(z)
}
{ =} { z^{-2} + \sum_{k = 1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} (\Gamma) z^{2k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für die Summanden in der Weierstraßschen $\wp$-Funktion gilt unter der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ < }{ \betrag { w }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach der Ableitung von
Satz 7.3
die Gleichung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1 }{ (z-w)^2 } } - { \frac{ 1 }{ w^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ w^2 } } { \left( { \frac{ 1 }{ (1 - { \frac{ z }{ w } } )^2 } } -1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ w^2 } } \sum_{n = 1}^\infty (n+1) \left( \frac{ z }{ w } \right)^n
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty (n+1) { \frac{ z^n }{ w^{n+2} } }
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Somit gilt für alle $z$, die betragsmäßig kleiner als alle Gitterpunkte $\neq 0$ sind, die Beschreibung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \wp(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2 } } + \sum_{w \in \Gamma'} { \left( { \frac{ 1 }{ (z-w)^2 } } - { \frac{ 1 }{ w^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2 } } + \sum_{w \in \Gamma'} { \left( \sum_{n = 1}^\infty (n+1) { \frac{ z^n }{ w^{n+2} } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2 } } + \sum_{n = 1}^\infty (n+1) { \left( \sum_{w \in \Gamma'} { \frac{ 1 }{ w^{n+2} } } \right) } z^n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2 } } + \sum_{n = 1}^\infty (n+1) G_{n+2}(\Gamma) z^n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2 } } + \sum_{k = 1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} (\Gamma) z^{2k}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
da nach
Lemma 28.2 (2)
die Eisenstein-Werte zu ungeradem Index $0$ sind.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt der
\definitionsverweis {Körper der elliptischen Funktionen}{}{}
die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} ( \wp , \wp')
}
{ =} { {\mathbb C} ( \wp) [ \wp'] /( \wp'^2 - g( \wp))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem kubischen Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g( \wp)
}
{ =} { 4 \wp^3 -60 G_4(\Gamma) \wp -140 G_6(\Gamma)
}
{ =} { 4 \wp^3 - g_2 \wp -g_3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der
\definitionsverweis {Weierstraßschen}{}{}
$\wp$-Funktion, wobei
\mathkor {} {G_4(\Gamma)} {und} {G_6(\Gamma)} {}
die Werte der
\definitionsverweis {Eisensteinreihen}{}{}
für $\Gamma$ bezeichnen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es wurde bereits in
Lemma 27.13
gezeigt, dass der Körper der elliptischen Funktionen von
\mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {}
erzeugt wird. Die Weierstraßsche Funktion $\wp$ ist definitiv nicht konstant, somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}( \wp)
}
{ \cong }{ {\mathbb C} (T)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C} (\wp, \wp')
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn wir die angesprochene algebraische Relation zwischen
\mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {}
etabliert haben, so folgt, da diese irreduzibel ist, die Beschreibung des Körpers.
Nach
Lemma 28.10
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \wp(z)
}
{ =} { z^{-2} +3 G_4 z^2+5 G_6 z^4 + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \wp' (z)
}
{ =} { -2z^{-3} +6 G_4 z+ 20 G_6 z^3 + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\wp(z))^3
}
{ =} { z^{-6} +9 G_4 z^{-2} +15 G_6 + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\wp'(z))^2
}
{ =} { 4z^{-6} -24 G_4 z^{-2} -80 G_6 + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die weggelassenen höheren Terme holomorph sind. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(z)
}
{ =} { (\wp'(z))^2-4 \wp(z)^3 +60 G_4 \wp(z) +140 G_6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die als polynomiale Kombination von elliptischen Funktionen wieder elliptisch ist, und allenfalls in den Gitterpunkten Pole besitzt. Die Laurent-Entwicklung dieser Funktion im Nullpunkt ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ h(z)
}
{ =} { 4z^{-6} -24 G_4 z^{-2} -80 G_6 + \ldots -4 { \left( z^{-6} +9 G_4 z^{-2} +15 G_6 + \ldots \right) } +60 G_4 { \left( z^{-2} +3 G_4 z^2+5 G_6 z^4 + \ldots \right) } +140G_6
}
{ =} { (4-4) z^{-6} + (-24 -36+60 )G_4z^{-2} + (-80 -60 +140 ) G_6 z^0 + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Da sich hier die Polstellenterme wegheben, ist dies eine holomorphe elliptische Funktion, die im Nullpunkt den Wert $0$ besitzt. Daher ist die Funktion nach
Lemma 27.3
konstant gleich $0$ und beschreibt eine algebraische Relation zwischen
\mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {.}
\inputbemerkung
{}
{
Die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\wp')^2
}
{ =} { 4 \wp^3 -g_2\wp-g_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Satz 28.11
heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion $\wp$. Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus.
Wir betrachten die Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\wp')^2
}
{ =} { 4 \wp^3 -g_2 \wp -g_3
}
{ =} { 4( \wp- e_1) (\wp-e_2)( \wp- e_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit komplexen Zahlen
\mathl{e_1,e_2,e_3}{.} Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \langle v_1,v_2 \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Gitter ist, so sind nach
Aufgabe 27.8
die Halbierungspunkte
\mathl{{ \frac{ v_1 }{ 2 } }, { \frac{ v_2 }{ 2 } }, { \frac{ v_1+v_2 }{ 2 } }}{} die Nullstellen von $\wp'$ und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_i
}
{ = }{ \wp { \left( { \frac{ v_i }{ 2 } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_3
}
{ = }{ v_1+v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt, und die $e_i$ werden unter $\wp$ nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach
Lemma 27.11
wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert $w$ von $\wp$ zweifach
\zusatzklammer {mit Vielfachheiten gezählt} {} {}
angenommen. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \wp(z)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \wp(-z)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies wenden wir auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ e_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
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an, wo wir ein Urbild, nämlich ${ \frac{ v_i }{ 2 } }$ schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit ${ \frac{ v_i }{ 2 } }$ überein. Daher sind die $e_i$ verschieden, was nach
Lemma 4.8 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))
die Glattheit der Kurve bedeutet.
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