Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/14/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	3	2	3	12	2	3	3	1	8	3	4	4	2	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis ${}n=6$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften:

1. Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt.
2. Deutschland war schon viermal Weltmeister.
3. Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister.
4. Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister.

Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?

Aufgabe * (12 (4+3+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüpfungen

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto {\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)}$

und

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto {\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}.$

1. Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (der größte gemeinsame Teiler von ${}0$ und ${}0$ sei als ${}0$ festgelegt).
2. Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}a$ und ${}0$ sei als ${}0$ festgelegt).
3. Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen (mit dem GgT als Addition) ein kommutativer Halbring vorliegt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Rest von ${}123456789$ bei Division durch ${}9$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere die Rolle der Division mit Rest für die Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1023$.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}a$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}b$ Litern, wobei ${}a$ und ${}b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Exponenten zu ${}2$ von ${}203264$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Größergleichrelation ${}\geq$ auf ${}\mathbb {Q}$ wohldefiniert ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Unterteile die Strecke von ${}{\frac {2}{7}}$ nach ${}{\frac {3}{4}}$ rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -\left\lfloor -x\right\rfloor .$